Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
. Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 4, após atingir seu valor mínimo de concentração.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função concentração é .
- A variável
é a distância a partir do ponto de descarga (presumivelmente ). - O enunciado pede: determinar o intervalo inteiro que contém a distância aproximada na qual a concentração de oxigênio volta a ser maior ou igual a
depois de atingir seu valor mínimo. Ou seja, encontrar o ponto tal que e identificar em qual intervalo inteiro esse se encontra. - As alternativas disponíveis são:
- a.
- b.
- c.
- d.
- e.
- a.
Passo 2
Vamos achar primeiro onde a função atinge o valor mínimo (isto ajuda a entender “após atingir seu valor mínimo”). Para isso, calculamos a derivada
e igualamos a zero.
Explicando: a derivada da função dá a inclinação da curva. Para funções que envolvem exponenciais, vale
. Aqui temos combinações de exponenciais.
Calculemos:
Derivando:
Multiplicando os fatores:
Passo 3
Encontrar o ponto crítico resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
e isolando:
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Observação:
é negativo, então
. Agora fazemos a conta aproximada:
Passo 4
Confirmando que é mínimo (checando a segunda derivada) e calculando o valor mínimo aproximado para intuição.
Segunda derivada:
Avaliada em
:
Então
logo é mínimo.
Valor mínimo da concentração:
Ou seja, a concentração desce até cerca de
em
e depois aumenta.
Passo 5
Agora queremos achar o ponto após o mínimo em que a concentração atinge
. Ou seja, resolver
Substituindo:
Esta é uma equação transcendental (envolve exponenciais com
em posições diferentes), então vamos encontrar a solução numérica por busca/fechamento entre inteiros, o que é suficiente para identificar o intervalo inteiro pedido.
Passo 6
Avaliar
em alguns valores inteiros para achar em qual intervalo
passa por
depois do mínimo.
Calculando:
- Em
:
Ainda menor que
.
- Em
:
Ainda menor que
.
- Em
:
Ainda menor que
.
- Em
:
Aqui
.
Passo 7
Interpretando os resultados: após o mínimo em
a concentração cresce e, entre
e
, ela cruza o valor
(em
tem
, em
tem
). Portanto o ponto onde
na rama crescente está no intervalo
. Isso responde a pergunta de qual intervalo inteiro contém a distância aproximada desejada.
Resposta
c. (5,6)