Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes: c(x)=10-20^{*}\left(\exp \left(-0.2^{*} x\right)-\exp \left(-0.75^{*} x\right)\right). Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 4, após atingir seu valor mínimo de concentração.
Resposta
a. (6,7)
b. (7,8)
c. (5,6)
d. (3,4)
e. (4,5)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função concentração é c(x)=10-20\*\left(\exp\left(-0,2\*x\right)-\exp\left(-0,75\*x\right)\right).
  • A variável x é a distância a partir do ponto de descarga (presumivelmente x\ge0).
  • O enunciado pede: determinar o intervalo inteiro que contém a distância aproximada na qual a concentração de oxigênio volta a ser maior ou igual a 4 depois de atingir seu valor mínimo. Ou seja, encontrar o ponto x> x_{\min} tal que c(x)=4 e identificar em qual intervalo inteiro (k,k+1) esse x se encontra.
  • As alternativas disponíveis são:
    • a. (6,7)
    • b. (7,8)
    • c. (5,6)
    • d. (3,4)
    • e. (4,5)

Passo 2

Vamos achar primeiro onde a função atinge o valor mínimo (isto ajuda a entender “após atingir seu valor mínimo”). Para isso, calculamos a derivada c'(x) e igualamos a zero.
Explicando: a derivada da função dá a inclinação da curva. Para funções que envolvem exponenciais, vale \dfrac{d}{dx}\exp(kx)=k\exp(kx). Aqui temos combinações de exponenciais.
Calculemos:
c(x)=10-20\bigl(e^{-0,2x}-e^{-0,75x}\bigr).
Derivando:
c'(x)=-20\bigl(-0,2e^{-0,2x}+0,75e^{-0,75x}\bigr).
Multiplicando os fatores:
c'(x)=4e^{-0,2x}-15e^{-0,75x}.

Passo 3

Encontrar o ponto crítico resolvendo c'(x)=0:
4e^{-0,2x}=15e^{-0,75x}.
Dividindo ambos os lados por e^{-0,75x} e isolando:
\frac{4}{15}=e^{-0,2x+0,75x}=e^{0,55x}.
Tomando logaritmo natural:
0,55x=\ln\!\left(\tfrac{4}{15}\right).
Portanto
x_{\min}=\frac{\ln\!\left(\tfrac{4}{15}\right)}{0,55}.
Observação: \ln\!\left(\tfrac{4}{15}\right) é negativo, então x_{\min}>0. Agora fazemos a conta aproximada:
\ln\!\left(\tfrac{4}{15}\right)\approx\ln(0,2666667)\approx-1,32176,
x_{\min}\approx\frac{-1,32176}{0,55}\approx2,403.

Passo 4

Confirmando que é mínimo (checando a segunda derivada) e calculando o valor mínimo aproximado para intuição.
Segunda derivada:
c''(x)=-0,8e^{-0,2x}+11,25e^{-0,75x}.
Avaliada em x_{\min}\approx2,403:
e^{-0,2\cdot2,403}\approx e^{-0,4806}\approx0,6187,
e^{-0,75\cdot2,403}\approx e^{-1,8023}\approx0,1647.
Então
c''(2,403)\approx-0,8\cdot0,6187+11,25\cdot0,1647\approx-0,495+1,853\approx1,358>0,
logo é mínimo.
Valor mínimo da concentração:
c(2,403)=10-20\bigl(0,6187-0,1647\bigr)\approx10-20\cdot0,4540\approx10-9,080\approx0,920.
Ou seja, a concentração desce até cerca de 0,92 em x\approx2,40 e depois aumenta.

Passo 5

Agora queremos achar o ponto após o mínimo em que a concentração atinge 4. Ou seja, resolver
c(x)=4.
Substituindo:
10-20\bigl(e^{-0,2x}-e^{-0,75x}\bigr)=4
\Rightarrow 20\bigl(e^{-0,2x}-e^{-0,75x}\bigr)=6
\Rightarrow e^{-0,2x}-e^{-0,75x}=0,3.
Esta é uma equação transcendental (envolve exponenciais com x em posições diferentes), então vamos encontrar a solução numérica por busca/fechamento entre inteiros, o que é suficiente para identificar o intervalo inteiro pedido.

Passo 6

Avaliar c(x) em alguns valores inteiros para achar em qual intervalo c(x) passa por 4 depois do mínimo.
Calculando:
  • Em x=3: e^{-0,6}\approx0,5488,\qquad e^{-2,25}\approx0,1054,
c(3)=10-20(0,5488-0,1054)=10-20\cdot0,4434\approx10-8,868\approx1,132.
Ainda menor que 4.
  • Em x=4: e^{-0,8}\approx0,4493,\qquad e^{-3}\approx0,04979,
c(4)=10-20(0,4493-0,04979)=10-20\cdot0,3995\approx10-7,990\approx2,010.
Ainda menor que 4.
  • Em x=5: e^{-1}\approx0,3679,\qquad e^{-3,75}\approx0,02352,
c(5)=10-20(0,3679-0,02352)=10-20\cdot0,34436\approx10-6,8872\approx3,1128.
Ainda menor que 4.
  • Em x=6: e^{-1,2}\approx0,3010,\qquad e^{-4,5}\approx0,01111,
c(6)=10-20(0,3010-0,01111)=10-20\cdot0,28989\approx10-5,7978\approx4,2022.
Aqui c(6)>4.

Passo 7

Interpretando os resultados: após o mínimo em x\approx2,403 a concentração cresce e, entre x=5 e x=6, ela cruza o valor 4 (em x=5 tem c\approx3,11<4, em x=6 tem c\approx4,20>4). Portanto o ponto onde c(x)=4 na rama crescente está no intervalo (5,6). Isso responde a pergunta de qual intervalo inteiro contém a distância aproximada desejada.

Resposta

c. (5,6)

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