Given the following functions F(s), find f(t).
(a) F(s)=s(s+6)(s+3)(s^2+6 s+18)
(b) F(s)=(s+4)(s+8)s(s^2+8 s+32)

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace de duas funções F(s). O conteúdo principal é usar frações parciais e a tabela básica de transformadas (especialmente o deslocamento no eixo s e as transformadas de cos(bt) e sin(bt)).

Passo 2

Parte (a):
F(s)=s(s+6)(s+3)l(s^2+6s+18r). Note que
s^2+6s+18=(s+3)^2+3^2
Fazemos decomposição em frações parciais do tipo
s(s+6)(s+3)l((s+3)^2+9r) =As+3+B(s+3)+C(s+3)^2+3^2
Multiplicando pelo denominador comum e igualando coeficientes de s^2, s e termo constante obtemos
A+B=1, 6A+6B+C=6, 18A+9B+3C=0
cuja solução é A=-1, B=2, C=0. Logo
F(s)=-1s+3+2(s+3)(s+3)^2+3^2

Passo 3

Invertendo cada parcela pelo teorema do deslocamento:
L^-1l-tfrac1s+3r=-e^-3t, L^-1ltfrac2(s+3)(s+3)^2+3^2r=2e^-3tcos(3t)
Portanto, para t>=0,
fa(t)=e^-3tl(2cos(3t)-1r)

Passo 4

Parte (b):
F(s)=(s+4)(s+8)sl(s^2+8s+32r). Note que
s^2+8s+32=(s+4)^2+4^2
Decompomos em
(s+4)(s+8)sl((s+4)^2+16r) =As+B(s+4)+C(s+4)^2+4^2
Igualando coeficientes em
(s+4)(s+8)=Al((s+4)^2+16r)+(B(s+4)+C),s
vem
A+B=1, 8A+4B+C=12, 16A=32
e obtemos A=1, B=0, C=4. Assim
F(s)=1s+4(s+4)^2+4^2

Passo 5

Invertendo transformadas:
L^-11/s=1, L^-1ltfrac4(s+4)^2+4^2r =e^-4tsin(4t)
Logo, para t>=0,
fb(t)=1+e^-4tsin(4t)

Resposta

(a) f(t)=e^-3tl(2cos(3t)-1r)
(b) f(t)=1+e^-4tsin(4t)

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