(Gleiser) Considere uma casca esférica condutora de raio b e carga Q. Em uma posição dista do centro da casca por r>b é colocada uma carga pontual q.
(a) Encontre o potencial fora da casca.
(b) Encontre a densidade de cargas na superfície da casca.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. Peguei todas as informações do enunciado.
Dados:
Uma casca esférica condutora de raio b que carrega carga total Q.
Uma carga pontual q posta fora da casca, a uma distância r do centro da casca, com r>b. Vou colocar a carga q no eixo z positivo, isto é, em z=r.
O que o enunciado pede:
(a) Encontrar o potencial elétrico na região externa à casca (ou seja, para pontos com distância R do centro tal que R>b).
(b) Encontrar a densidade de carga superficial \sigma sobre a superfície da casca (função do ângulo entre o ponto da superfície e a direção da carga q).
Observações de notação que vou usar:
Ponto de observação (campo) terá coordenadas esféricas (R,\theta,\varphi), sendo \theta o ângulo entre o raio vetor do ponto de observação e a reta que liga o centro à carga q (ou seja, \theta=0 aponta na direção da carga q).
A distância do ponto de observação até a carga q vale \sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta}.
Como a casca é condutora, a superfície R=b é um equipotencial (potencial constante sobre toda a superfície). Vou usar esse fato para construir a solução.
Passo 2
Estratégia física e ferramenta matemática (explicação didática do método de imagens e superposição).
Ideia física: a presença da carga externa q induz uma distribuição de carga sobre a casca, mas a casca permanece um corpo equipotencial. A solução do problema (potencial fora) é a que satisfaz as equações de Laplace/Poisson com a condição de contorno \Phi constante na superfície R=b e comportamento adequado no infinito.
Ferramenta prática: método de imagens. Explicando de forma suave:
Para uma carga pontual q fora de uma esfera condutora, existe uma configuração simples que satisfaz a condição de que a superfície esférica esteja a potencial constante: é a soma da carga real q colocada em z=r e de uma carga imagem q' colocada dentro da esfera, sobre o eixo z, numa posição z=r_1. Para a esfera perfeitamente condutora e para a condição de potencial zero (esfera aterrada) o método dá fórmulas conhecidas para q' e r_1.
Para a esfera com potencial não necessariamente zero e que carrega carga total Q, usa-se a superposição: primeiro constrói-se a solução que faz a esfera ter potencial zero (a solução com carga imagem q'); depois soma-se uma carga pontual q_0 no centro da esfera. Colocar uma carga no centro altera o potencial sobre a esfera por um valor constante (pois a distância do centro a qualquer ponto da superfície é b), logo preserva o caráter de equipotencial. Assim é possível ajustar a carga total na casca.
Resultado conhecido para a imagem (caso aterrada, raio b, carga q em z=r):
carga imagem q' = -\,\dfrac{q\,b}{r},
posição da imagem r_1 = \dfrac{b^{2}}{r} (sobre o mesmo eixo, dentro da esfera).
Com essa imagem, a superfície esférica tem potencial zero (solução para esfera aterrada).
Para a casca isolada com carga total Q: acrescenta-se uma carga pontual q_0 no centro, escolhida de modo que a carga total associada à superfície (induzida pela presença de q) seja Q. A carga q_0 vista de fora age como uma distribuição esférica uniforme sobre a superfície (mesmo potencial em toda a superfície), então não quebra a condição de equipotencial.
Passo 3
Construção explícita da solução por superposição (detalhes e justificativa).
Começo com a solução correspondente à esfera aterrada: potencial fora (para R>b) dada por contribuição da carga real q em z=r e da imagem q' em z=r_1. Nessa solução a superfície tem \Phi=0.
A carga total induzida sobre a casca nessa solução aterrada é exatamente q' (isto é, a integral da densidade induzida sobre a superfície dá q'). Essa é uma propriedade do método de imagens: a carga imagem dentro da esfera representa a distribuição induzida e seu valor corresponde ao total induzido na casca no caso aterrada.
Como na nossa casca a carga total deve ser Q, preciso acrescentar ao sistema uma carga no centro q_0 tal que a soma do que já estava (induzido pela presença de q no caso aterrada, isto é q') mais o efeito da carga central resulte em carga total Q. A carga central (vista do exterior) contribui com carga efetiva q_0 para o total sobre a casca (matematicamente, adicionando q_0 no centro dá, na superfície, uma componente uniforme de densidade cuja integral é q_0). Assim escolhoq_0 = Q - q'.
Portanto, a solução para a casca isolada (equipotencial desconhecido) é obtida somando três contribuições: a carga real q (em z=r), a imagem q'=-\dfrac{q b}{r} (em z=r_1=b^{2}/r) e a carga central q_0=Q+\dfrac{q b}{r} (em z=0). Essa soma garante que a superfície R=b é equipotencial (porque a configuração com q e q' dá potencial constante na esfera e a carga central apenas soma uma constante) e que a carga total da casca é Q.
Passo 4
Escrever o potencial fora da casca de forma explícita (resposta do item (a)).
Para um ponto externo com coordenadas (R,\theta), a distância até a carga q é d_q=\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta}.
A distância até a carga imagem q' (em z=r_1) é d_{q'}=\sqrt{R^{2}+r_{1}^{2}-2R r_{1}\cos\theta}, com r_{1}=b^{2}/r.
A contribuição da carga central q_0 é simplesmente q_0/(4\pi\varepsilon_{0}R).
Observação didática: cada termo tem interpretação física — primeiro é a carga real, o segundo reproduz a distribuição induzida que assegura equipotencialidade da superfície (na construção do caso aterrada) e o terceiro é a carga uniforme adicional necessária para que a casca tenha carga total Q.
Passo 5
Cálculo do campo normal à superfície e fórmula para a densidade superficial \sigma (resposta do item (b)), passo a passo.
Relação entre campo e potencial: o campo elétrico radial just outside (logo fora) da superfície é E_{r}(b,\theta)=-\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial R}\right|_{R=b}. Como dentro do condutor E=0, a componente normal do campo logo fora da superfície determina a densidade superficial:\sigma(\theta)=\varepsilon_{0}E_{r}(b,\theta) = -\varepsilon_{0}\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial R}\right|_{R=b}.
Vamos derivar termo a termo. Para uma função genérica f(R)=1/\sqrt{R^{2}+a^{2}-2Ra\cos\theta} tem-se\dfrac{df}{dR} = -\dfrac{R-a\cos\theta}{\bigl(R^{2}+a^{2}-2Ra\cos\theta\bigr)^{3/2}}.(aplicação direta da regra da cadeia; explicação: f(R)=(R^{2}+a^{2}-2Ra\cos\theta)^{-1/2}, derivando aparece -\tfrac{1}{2} e depois a derivada do argumento 2R-2a\cos\theta).
Aplicando isso aos dois termos de distância e lembrando do sinal para E_{r}=-\partial\Phi/\partial R, obtemosE_{r}(b,\theta)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[ q\,\dfrac{b-r\cos\theta}{\bigl(b^{2}+r^{2}-2br\cos\theta\bigr)^{3/2}} + q'\,\dfrac{b-r_{1}\cos\theta}{\bigl(b^{2}+r_{1}^{2}-2b r_{1}\cos\theta\bigr)^{3/2}} + \dfrac{q_0}{b^{2}} \right].(o sinal do último termo vem de \partial(1/R)/\partial R = -1/R^{2} e do menos em E=-\partial\Phi/\partial R dando total +q_0/R^{2}; ao avaliar em R=b aparece q_0/b^{2}.)
Multiplicando por \varepsilon_{0} para obter \sigma:\sigma(\theta)=\varepsilon_{0}E_{r}(b,\theta)=\dfrac{1}{4\pi}\left[ q\,\dfrac{b-r\cos\theta}{\bigl(b^{2}+r^{2}-2br\cos\theta\bigr)^{3/2}} + q'\,\dfrac{b-r_{1}\cos\theta}{\bigl(b^{2}+r_{1}^{2}-2b r_{1}\cos\theta\bigr)^{3/2}} + \dfrac{q_0}{b^{2}} \right].
Finalmente substituindo q'=-\dfrac{q b}{r}, r_{1}=\dfrac{b^{2}}{r} e q_0=Q+\dfrac{q b}{r} numa única expressão, a densidade fica escrita em termos dos dados q,Q,b,r:\sigma(\theta)=\dfrac{1}{4\pi}\Biggl[ q\,\dfrac{b-r\cos\theta}{\bigl(b^{2}+r^{2}-2br\cos\theta\bigr)^{3/2}} -\dfrac{q b}{r}\, \dfrac{\,b-\dfrac{b^{2}}{r}\cos\theta\,}{\bigl(b^{2}+\dfrac{b^{4}}{r^{2}}-2b\cdot\dfrac{b^{2}}{r}\cos\theta\bigr)^{3/2}} + \dfrac{Q+\dfrac{q b}{r}}{b^{2}} \Biggr].
Observação didática: o primeiro termo é a contribuição não-uniforme diretamente associada à presença da carga externa q; o segundo vem da imagem (representando a distribuição induzida correspondente) e o terceiro é a contribuição uniforme associada à carga total Q. A soma dá uma densidade que, ao integrar sobre a superfície (integral sobre \theta,\varphi), dá exatamente Q — isso é consistente com a construção que fixou q_0 de modo a assegurar a carga total Q.