On 5 Uma onda transversal senoidal propaga em uma corda com amplitude 5,0 \mathrm{~mm} e comprimento de onda igual a 40 cm . A tensão na corda é 3,6 \mathrm{~N} e a densidade linear de massa é 25 \mathrm{~g} / \mathrm{m}. No instante t=0, o deslocamento transversal do ponto da corda em x=0 é igual a 4,0 \mathrm{~mm}. Determine: (a) a velocidade da onda; (b) o período; (c) o número de onda; (d) a freqência angular; (e) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda; (f) a constante de fase.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Amplitude: A=5{,}0\\ \mathrm{mm} = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de onda: \lambda=40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Tensão na corda: \mathcal{T}=3{,}6\\ \mathrm{N}.
  • Densidade linear de massa: \mu=25\\ \mathrm{g/m} = 25\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}=0{,}025\\ \mathrm{kg/m}.
  • Condição inicial: no instante t=0 o deslocamento em x=0 é y(0,0)=4{,}0\\ \mathrm{mm}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade da onda;
(b) o período;
(c) o número de onda;
(d) a frequência angular;
(e) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda;
(f) a constante de fase da função de onda.
Observação sobre a forma da onda que vou usar (não é informação extra pedida, é a hipótese padrão): vou representar a onda transversal senoidal viajando no sentido positivo de x por
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde k é o número de onda, \omega é a frequência angular e \varphi é a constante de fase (desconhecida). A condição y(0,0)=A\sin(\varphi)=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} será usada para determinar \varphi.

Passo 2

Converter unidades e fixar valores numéricos em SI (já parcialmente feito) para evitar erros:
A=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad \lambda=0{,}40\\ \mathrm{m},\qquad \mathcal{T}=3{,}6\\ \mathrm{N},\qquad \mu=0{,}025\\ \mathrm{kg/m},\qquad y(0,0)=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a velocidade da onda na corda.
Teoria (mini-aula): para uma corda tensa, a velocidade de propagação das ondas transversais é dada por
v=\sqrt{\dfrac{\mathcal{T}}{\mu}},
onde \mathcal{T} é a tensão (em newton) e \mu é a densidade linear de massa (em kg/m). Essa fórmula sai da equação de onda para a corda (é o resultado físico que relaciona inércia por unidade de comprimento \mu com a força restauradora \mathcal{T}).
Aplicando:
v=\sqrt{\dfrac{3{,}6}{0{,}025}}=\sqrt{144}=12\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade da onda é 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar o período e a frequência (rápida revisão).
Teoria: a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v=\lambda f,
onde f é a frequência (Hz). O período T é o inverso da frequência:
T=\dfrac{1}{f}.
Cálculo da frequência:
f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{12}{0{,}40}=30\\ \mathrm{Hz}.
Cálculo do período:
T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{30} \\ \mathrm{s}=0{,}033333\ldots\\ \mathrm{s}\approx0{,}03333\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular o número de onda k.
Teoria: o número de onda relaciona comprimento de onda com a fase espacial:
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Aplicando:
k=\dfrac{2\pi}{0{,}40}=5\pi\\ \mathrm{rad/m}\approx15{,}70796\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Calcular a frequência angular \omega.
Teoria: \omega está ligada à frequência por \omega=2\pi f.
Aplicando:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot30=60\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx188{,}49556\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.
Teoria (mini-aula): a velocidade transversal instantânea de uma partícula em x é a derivada temporal de y(x,t):
v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr).
O módulo máximo dessa velocidade (quando o cosseno vale \pm1) é
v_{y,\max}=A\omega.
Aplicando:
v_{y,\max}=A\omega=(5{,}0\times10^{-3})\cdot(60\pi)=300\pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}=0{,}942478\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}9425\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Determinar a constante de fase \varphi usando a condição inicial y(0,0)=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Da forma escolhida da onda temos
y(0,0)=A\sin(\varphi)=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Dividindo por A:
\sin(\varphi)=\dfrac{4{,}0\times10^{-3}}{5{,}0\times10^{-3}}= \dfrac{4}{5}=0{,}8.
Resolução da equação \sin(\varphi)=0{,}8:
  • A solução principal (valor principal do arco seno) é
\varphi_1=\arcsin(0{,}8)\approx0{,}927295\\ \mathrm{rad}\\ (\approx53{,}13^\circ).
  • Como a função seno não é injetora, há outra solução no intervalo 0 a 2\pi:
\varphi_2=\pi-\arcsin(0{,}8)\approx\pi-0{,}927295\approx2{,}214297\\ \mathrm{rad}\\ (\approx126{,}87^\circ).
  • Em geral todas as soluções são
\varphi=\arcsin(0{,}8)+2\pi n\quad\text{ou}\quad \varphi=\pi-\arcsin(0{,}8)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Observação física: sem informação adicional sobre a velocidade inicial \partial y/\partial t em x=0,t=0 não é possível escolher entre \varphi_1 e \varphi_2; ambas satisfazem a condição de deslocamento dada. Para determinar unicamente \varphi seria necessário conhecer também v_y(0,0).

Resposta

(a) v=12\\ \mathrm{m/s}
(b) T=\dfrac{1}{30}\\ \mathrm{s}\approx0{,}03333\\ \mathrm{s}
(c) k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=5\pi\\ \mathrm{rad/m}\approx15{,}708\\ \mathrm{rad/m}
(d) \omega=60\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx188{,}496\\ \mathrm{rad/s}
(e) v_{y,\max}=A\omega\approx0{,}9425\\ \mathrm{m/s}
(f) \varphi=\arcsin(0{,}8)\approx0{,}9273\\ \mathrm{rad} ou \varphi=\pi-\arcsin(0{,}8)\approx2{,}2143\\ \mathrm{rad} (mais, genericamente, \varphi=\arcsin(0{,}8)+2\pi n ou \varphi=\pi-\arcsin(0{,}8)+2\pi n,\\ n\in\mathbb{Z}).

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