On 5 Uma onda transversal senoidal propaga em uma corda com amplitude
e comprimento de onda igual a 40 cm . A tensão na corda é
e a densidade linear de massa é
. No instante
, o deslocamento transversal do ponto da corda em
é igual a
. Determine: (a) a velocidade da onda; (b) o período; (c) o número de onda; (d) a freqência angular; (e) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda; (f) a constante de fase.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Amplitude:
. - Comprimento de onda:
. - Tensão na corda:
. - Densidade linear de massa:
. - Condição inicial: no instante
o deslocamento em é .
O enunciado pede:
(a) a velocidade da onda;
(b) o período;
(c) o número de onda;
(d) a frequência angular;
(e) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda;
(f) a constante de fase da função de onda.
(a) a velocidade da onda;
(b) o período;
(c) o número de onda;
(d) a frequência angular;
(e) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda;
(f) a constante de fase da função de onda.
Observação sobre a forma da onda que vou usar (não é informação extra pedida, é a hipótese padrão): vou representar a onda transversal senoidal viajando no sentido positivo de
por
onde
é o número de onda,
é a frequência angular e
é a constante de fase (desconhecida). A condição
será usada para determinar
.
Passo 2
Converter unidades e fixar valores numéricos em SI (já parcialmente feito) para evitar erros:
Passo 3
Calcular a velocidade da onda na corda.
Teoria (mini-aula): para uma corda tensa, a velocidade de propagação das ondas transversais é dada por
onde
é a tensão (em newton) e
é a densidade linear de massa (em kg/m). Essa fórmula sai da equação de onda para a corda (é o resultado físico que relaciona inércia por unidade de comprimento
com a força restauradora
).
Aplicando:
Portanto a velocidade da onda é
.
Passo 4
Determinar o período e a frequência (rápida revisão).
Teoria: a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
onde
é a frequência (Hz). O período
é o inverso da frequência:
Cálculo da frequência:
Cálculo do período:
Passo 5
Calcular o número de onda
.
Teoria: o número de onda relaciona comprimento de onda com a fase espacial:
Aplicando:
Passo 6
Calcular a frequência angular
.
Teoria:
está ligada à frequência por
.
Aplicando:
Passo 7
Calcular a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.
Teoria (mini-aula): a velocidade transversal instantânea de uma partícula em
é a derivada temporal de
:
O módulo máximo dessa velocidade (quando o cosseno vale
) é
Aplicando:
Passo 8
Determinar a constante de fase
usando a condição inicial
.
Da forma escolhida da onda temos
Dividindo por
:
Resolução da equação
:
- A solução principal (valor principal do arco seno) é
- Como a função seno não é injetora, há outra solução no intervalo
a :
- Em geral todas as soluções são
Observação física: sem informação adicional sobre a velocidade inicial
em
não é possível escolher entre
e
; ambas satisfazem a condição de deslocamento dada. Para determinar unicamente
seria necessário conhecer também
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) ou
(mais, genericamente,
ou
).
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)