3 (H5) - Uma gota esférica de mercúrio de raio R=2 mm possui uma capacitância dada por C=4 pi varepsilon0 R. Se duas destas gotas se combinarem para formar uma única gota maior, qual será a sua capacitância? R: 0,280 pF.

Passo 1

Beleza, resumo da questão: temos duas gotinhas esféricas de mercúrio, cada uma com raio
R = 2,mm
e capacitância
C1 = 4pivarepsilon0 R
Quando elas se juntam, formam uma única esfera maior. O que a gente quer é a capacitância dessa nova esfera.
Conteúdo/matéria:
  • Volume de uma esfera: V=tfrac43pi R^3.
  • Conservação de volume ao juntar as duas gotas.
  • Capacitância de uma esfera isolada: C=4pivarepsilon0 R.

Passo 2

Primeiro, usar conservação de volume: cada gota tem volume
V1 = tfrac43pi R^3
Duas gotas juntas têm volume
V2 = 2V1 = 2,tfrac43pi R^3 = tfrac83pi R^3
Esse volume é igual ao volume da esfera maior, V2 = tfrac43pi Rrm nova^3. Assim,
tfrac43pi Rrm nova^3 = tfrac83pi R^3 Longrightarrow Rrm nova^3 = 2,R^3 Longrightarrow Rrm nova = 2^1/3,R

Passo 3

Agora, a capacitância de uma esfera isolada é
C = 4pivarepsilon0,(raio)
Logo, para a nova esfera:
C2 = 4pivarepsilon0,Rrm nova = 4pivarepsilon0,(2^1/3R) = 2^1/3,l(4pivarepsilon0 Rr) = 2^1/3,C1

Passo 4

Só falta o cálculo numérico. Primeiro, C1 = 4pivarepsilon0 R com
varepsilon0approx8,85times10^-12,F/m e R=2times10^-3,m:
C1 approx 4pi times 8,85times10^-12times2times10^-3 approx 2,23times10^-13,F = 0,223,pF
Como 2^1/3approx1,26, vem
C2 = 2^1/3,C1 approx 1,26times0,223,pF approx 0,280,pF

Resposta

C2 approx 0,280,pF

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