Um avião está pousando em um porta-aviões com uma velocidade inicial v0. Duante o processo de desaceleração, a força de frenagem aplicada resulta em uma aceleração negativa dada por a(t)=-alpha t, onde alpha>0 é uma constante. Determine o comprimento mínimo da pista necessário para que o avião pare completamente. Deixe o seu resultado em função de v0 e alpha. Qual é a unidade de alpha?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um avião chega na pista do porta-aviões com velocidade inicial a(t) = -alpha,t, alpha>0 e desacelera segundo a lei
Isso é cinemática com aceleração dependente do tempo. Para resolver vamos precisar de:
  1. lembrar que aceleração é ,
  2. integrar pra achar ,
  3. achar o tempo de parada fazendo ,
  4. integrar pra achar o espaço percorrido até parar,
  5. descobrir a unidade de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
dvdt= -alpha,t Longrightarrow dv = -alpha,t,dt
Integramos dos instantes integralv0^v(t) dv = -alpha integral0^t t',dt' ;Rightarrow; v(t)-v0 = -alpha;t^22 (velocidade v(t) = v0 - alpha,t^22 ) até um tempo genérico :
Portanto

Passo 3

Para achar o tempo de parada 0 = v0 - alpha,tf^22 ;Longrightarrow; tf^2 = 2,v0alpha ;Longrightarrow; tf = raiz2,v0alpha , impomos :

Passo 4

O espaço percorrido até parar é
s = integral0^tf v(t),dt = integral0^tfl(v0 - alpha,t^22r)dt = v0,tf - alpha2,tf^33 = v0,tf - alpha,tf^36
Substituindo s = v0raiz2v0alpha - alpha6l(raiztfrac2v0alphar)^3 = 23;v0;raiz2,v0alpha :

Passo 5

A unidade de [alpha] = [a][t] = rm m/s^2rm s = rm ms^3 vem de . Como é e é ,

Resposta

Comprimento mínimo da pista:
boxeds = 23;v0;raiz2,v0alpha e [alpha] = ms^3

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