Na gráfica da UFAC, em média são impressos 12 trabalhos por hora. Qual a probabilidade de, em uma hora:
Serem impressos exatamente 15 trabalhos?
Serem impressos exatamente 15 trabalhos?
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede uma probabilidade. Dados importantes:
- Em média, são impressos
trabalhos por hora. - Pergunta: qual a probabilidade de, em uma hora, serem impressos exatamente
trabalhos?
Passo 2
Vamos pensar qual modelo probabilístico usar. Quando temos contagem de ocorrências (número de trabalhos impressos) por intervalo de tempo e nos é dada a média por intervalo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Aqui a média por hora é conhecida (
), e queremos a probabilidade de um número inteiro específico (
) em uma hora — isso encaixa direitinho no Poisson. Portanto vamos aplicar a distribuição de Poisson.
Passo 3
Apresentando a fórmula da Poisson e explicando cada peça:
Nessa fórmula:
-
é a média esperada de eventos por intervalo (aqui ); -
é o número inteiro de eventos cujoprobabilidade queremos (aqui ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é o fatorial de , ou seja .
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula obtemos a expressão exata:
Passo 5
Como calcular isso na prática sem lidar com números gigantescos? Há um truque prático: a sequência de probabilidades de Poisson satisfaz a relação recursiva
Essa relação vem direto da fórmula e é ótima porque permite calcular
partindo de
e multiplicando sucessivamente por fatores
, evitando calcular
e
separadamente.
Passo 6
Calcular
. Pela fórmula,
Passo 7
Agora uso a recursão para subir até
. Vou mostrar os passos principais (cada linha:
):
Passo 8
Continuando a recursão:
Passo 9
Mais alguns passos:
Passo 10
Últimos saltos até
:
Passo 11
Interpretação rápida: o resultado significa que, com média
trabalhos/hora, a probabilidade de exatamente
trabalhos na próxima hora é cerca de
. É um valor razoável — não muito pequeno nem muito grande — porque
está relativamente perto da média
.