Na gráfica da UFAC, em média são impressos 12 trabalhos por hora. Qual a probabilidade de, em uma hora:
Serem impressos exatamente 15 trabalhos?

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede uma probabilidade. Dados importantes:
  • Em média, são impressos 12 trabalhos por hora.
  • Pergunta: qual a probabilidade de, em uma hora, serem impressos exatamente 15 trabalhos?

Passo 2

Vamos pensar qual modelo probabilístico usar. Quando temos contagem de ocorrências (número de trabalhos impressos) por intervalo de tempo e nos é dada a média por intervalo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Aqui a média por hora é conhecida ( 12), e queremos a probabilidade de um número inteiro específico ( 15) em uma hora — isso encaixa direitinho no Poisson. Portanto vamos aplicar a distribuição de Poisson.

Passo 3

Apresentando a fórmula da Poisson e explicando cada peça:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Nessa fórmula:
  • \lambda é a média esperada de eventos por intervalo (aqui \lambda=12);
  • k é o número inteiro de eventos cujoprobabilidade queremos (aqui k=15);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828);
  • k! é o fatorial de k, ou seja k! = k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot1.

Passo 4

Substituindo \lambda=12 e k=15 na fórmula obtemos a expressão exata:
P(X=15)=e^{-12}\frac{12^{15}}{15!}.

Passo 5

Como calcular isso na prática sem lidar com números gigantescos? Há um truque prático: a sequência de probabilidades de Poisson satisfaz a relação recursiva
P(k+1)=P(k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}.
Essa relação vem direto da fórmula e é ótima porque permite calcular P(15) partindo de P(0)=e^{-\lambda} e multiplicando sucessivamente por fatores \dfrac{\lambda}{1},\dfrac{\lambda}{2},\ldots,\dfrac{\lambda}{15}, evitando calcular 12^{15} e 15! separadamente.

Passo 6

Calcular P(0). Pela fórmula,
P(0)=e^{-12}\approx 0{,}00000614421235332821.

Passo 7

Agora uso a recursão para subir até k=15. Vou mostrar os passos principais (cada linha: P(k)):
\begin{aligned} P(0)&\approx 0{,}00000614421235332821,\\\ P(1)&=P(0)\cdot\frac{12}{1}\approx 0{,}0000737305482399385,\\\ P(2)&=P(1)\cdot\frac{12}{2}\approx 0{,}0004423832894396311,\\\ P(3)&=P(2)\cdot\frac{12}{3}\approx 0{,}0017695331577585244,\\\ P(4)&=P(3)\cdot\frac{12}{4}\approx 0{,}005308599473275573. \end{aligned}

Passo 8

Continuando a recursão:
\begin{aligned} P(5)&=P(4)\cdot\frac{12}{5}\approx 0{,}012740638336,\\\ P(6)&=P(5)\cdot\frac{12}{6}\approx 0{,}025481276672,\\\ P(7)&=P(6)\cdot\frac{12}{7}\approx 0{,}04368218858057143,\\\ P(8)&=P(7)\cdot\frac{12}{8}\approx 0{,}06552328287085714. \end{aligned}

Passo 9

Mais alguns passos:
\begin{aligned} P(9)&=P(8)\cdot\frac{12}{9}\approx 0{,}08736437716114285,\\\ P(10)&=P(9)\cdot\frac{12}{10}\approx 0{,}10483725259337142,\\\ P(11)&=P(10)\cdot\frac{12}{11}\approx 0{,}11436700283731427,\\\ P(12)&=P(11)\cdot\frac{12}{12}\approx 0{,}11436700283731427. \end{aligned}

Passo 10

Últimos saltos até 15:
\begin{aligned} P(13)&=P(12)\cdot\frac{12}{13}\approx 0{,}10556954031136778,\\\ P(14)&=P(13)\cdot\frac{12}{14}\approx 0{,}09048817740974382,\\\ P(15)&=P(14)\cdot\frac{12}{15}\approx 0{,}07239054192779506. \end{aligned}

Passo 11

Interpretação rápida: o resultado significa que, com média 12 trabalhos/hora, a probabilidade de exatamente 15 trabalhos na próxima hora é cerca de 7{,}24\%. É um valor razoável — não muito pequeno nem muito grande — porque 15 está relativamente perto da média 12.

Resposta

0,0724

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