1. Uma grande bola de neve esférica está se derretendo à taxa de 0,06 \pi m^{3} / h. No momento em que está com 76 cm de diâmetro, determine (a) a velocidade com que o raio está variando e (b) a velocidade com que a área da superfície está variando.
    Seja o volume e a área da esfera dados por, V=\frac{4}{3} \pi r^{3} e A=4 \pi r^{2} respectivamente. Derivando V e A em relação ao tempo obtemos:
\frac{d V}{d t}=4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t} \quad e \quad \frac{d A}{d t}=8 \pi r \frac{d r}{d t}
(a) Substituindo \frac{d V}{d t}=-0,06 \pi m^{3} / h e r=0,34 m na equação da esquerda obtemos \frac{d r}{d t}= -0,104 \mathrm{~m} / \mathrm{h}
(b) Utilizando o resultado anterior de \frac{d r}{d t}=-0,104 \mathrm{~m} / \mathrm{h} obtemos \frac{d A}{d t}=-0,993 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de neve vê seu volume variando à taxa \frac{dV}{dt}=-0,06\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}. No instante considerado, o diâmetro é 76\\ \mathrm{cm}, logo o raio é
r= \frac{76\\ \mathrm{cm}}{2}=38\\ \mathrm{cm}=0,38\\ \mathrm{m}.
Precisamos de duas relações de taxas relacionadas a r(t):
V=\frac{4}{3}\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt},
A=4\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dA}{dt}=8\pi r\,\frac{dr}{dt}.

Passo 2

Para achar \frac{dr}{dt}, use
\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}
e isole \frac{dr}{dt}:
\frac{dr}{dt} =\frac{1}{4\pi r^2}\,\frac{dV}{dt} =\frac{1}{4\pi (0,38)^2}\,\bigl(-0,06\pi\bigr) =-0,104\\ \mathrm{m/h}.

Passo 3

Para \frac{dA}{dt}, use
\frac{dA}{dt}=8\pi r\,\frac{dr}{dt} =8\pi\,(0,38)\,\bigl(-0,104\bigr) \approx -0,993\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{h}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dr}{dt}=-0,104\\ \mathrm{m/h}.
(b) \displaystyle \frac{dA}{dt}\approx -0,993\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{h}.

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