1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, t \geq 0, a velocidade é v(t)=2 t+1. Sabe-se, ainda, que no instante t=0 a partícula encontra-se na posição x=1. Determine a posição x=x(t) da partícula no instante t.
\frac{d x}{d t}=2 t+1 \quad e \quad x(0)=1
\frac{d x}{d t}=2 t+1 \Rightarrow x=\int(2 t+1) d t=t^{2}+t+k

Passo 1

Nesse exercício, temos uma partícula cuja velocidade é dada por v(t)=2t+1 para t\ge0 e a condição inicial x(0)=1. O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo
\frac{dx}{dt}=v(t)
por meio de integração, usando depois a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para encontrar x(t), integramos a equação diferencial
\frac{dx}{dt}=2t+1
em relação a t. Assim obtemos a primitiva da velocidade:
x(t)=\int(2t+1)\,dt = t^2 + t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial x(0)=1. Substituindo t=0 na expressão geral de x(t):
x(0) = 0^2 + 0 + C = C = 1.
Logo, C=1.

Resposta

x(t) = t^2 + t + 1.

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