- O grande matemático suíço Leonhard Euler (biografia na p. 3 do Volume 1) chegou, algumas vezes, a conclusões erradas em seu pioneiro trabalho sobre séries infintas. Por exemplo, Euler deduziu que.
e
substituindo
e
na fórmula
Qual é o problema com esse raciocínio?
Passo 1
O enunciado diz que Euler partiu da série geométrica infinita
e, para chegar a
e
,
ele simplesmente substituiu e
nessa fórmula. O conteúdo-chave aqui é convergência de séries infinitas e, mais especificamente, a série geométrica.
ele simplesmente substituiu
Passo 2
Para aplicarmos a fórmula
precisamos que essa série convirja. A condição de convergência absoluta da série geométrica é
Somente nesse intervalo de valores de
o somatório faz sentido no sentido usual (ou seja, converge para um número finito).
Passo 3
Se tentarmos
, a série torna-se
que não converge (oscila entre 1 e 0). Para
, a série vira
e cresce sem limite, ou seja, diverge para infinito. Em ambos os casos,
, portanto estamos fora do raio de convergência.
Passo 4
O erro de Euler foi usar a identidade da série geométrica para valores de
onde ela não é válida. Fazer
é uma extrapolação ilegal: a série não converge, então não podemos igualá-la a
e tirar aqueles resultados “mágicos”.
Resposta
O problema é que a fórmula da série geométrica
só vale para . Euler aplicou-a em
e
, onde a série diverge, invalidando o raciocínio.
só vale para