1. O grande matemático suíço Leonhard Euler (biografia na p. 3 do Volume 1) chegou, algumas vezes, a conclusões erradas em seu pioneiro trabalho sobre séries infintas. Por exemplo, Euler deduziu que.
\frac{1}{2}=1-1+1-1+\cdots
e
-1=1+2+4+8+\cdots
substituindo x=-1 e x=2 na fórmula
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
Qual é o problema com esse raciocínio?

Passo 1

O enunciado diz que Euler partiu da série geométrica infinita
\frac{1}{1 - x} \;=\; 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
e, para chegar a \tfrac12 = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots e -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots,
ele simplesmente substituiu x = -1 e x = 2 nessa fórmula. O conteúdo-chave aqui é convergência de séries infinitas e, mais especificamente, a série geométrica.

Passo 2

Para aplicarmos a fórmula
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n
precisamos que essa série convirja. A condição de convergência absoluta da série geométrica é
|x| < 1.
Somente nesse intervalo de valores de x o somatório faz sentido no sentido usual (ou seja, converge para um número finito).

Passo 3

Se tentarmos x = -1, a série torna-se
1 - 1 + 1 - 1 + \cdots,
que não converge (oscila entre 1 e 0). Para x = 2, a série vira
1 + 2 + 4 + 8 + \cdots,
e cresce sem limite, ou seja, diverge para infinito. Em ambos os casos, |x|\ge1, portanto estamos fora do raio de convergência.

Passo 4

O erro de Euler foi usar a identidade da série geométrica para valores de x onde ela não é válida. Fazer
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad\text{com}\quad |x|\ge1
é uma extrapolação ilegal: a série não converge, então não podemos igualá-la a \tfrac1{1-x} e tirar aqueles resultados “mágicos”.

Resposta

O problema é que a fórmula da série geométrica \frac1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n
só vale para |x|<1. Euler aplicou-a em x=-1 e x=2, onde a série diverge, invalidando o raciocínio.

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