1. Seja \left\{a_{n}\right\} a sequência definida recursivamente por a_{1}=\sqrt{2} \mathrm{e} a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \operatorname{com} n \geq 1.
    (a) Dê os três primeiros termos da sequência.
    (b) Mostre que a_{n}<2 \operatorname{com} n \geq 1.
    (c) Mostre que a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=\left(2-a_{n}\right)\left(1+a_{n}\right) \operatorname{com} n \geq 1.
    (d) Use os resultados nas partes (b) e (c) para mostrar que \left\{a_{n}\right\} é uma sequência estritamente crescente. [Sugestão: Se x e y forem números reais positivos tais que x^{2}-y^{2}>0, então segue por fatoração que x-y>0.]
    (e) Mostre que \left\{a_{n}\right\} converge e encontre o seu limite L.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_{1} = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n},
e pede:
(a) os três primeiros termos;
(b) mostrar que a_n<2;
(c) provar que a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 - a_n)(1 + a_n);
(d) usar (b) e (c) para concluir que \{a_n\} é estritamente crescente;
(e) mostrar que \{a_n\} converge e determinar seu limite L.
Teremos que usar indução, fatoração de diferença de quadrados e o Teorema de Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas.

Passo 2

(a) Calculamos os três primeiros termos diretamente:
a_{1} = \sqrt{2}, \quad a_{2} = \sqrt{2 + a_{1}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \quad a_{3} = \sqrt{2 + a_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}.

Passo 3

(b) Prova por indução de que a_n<2 para todo n\ge1.
Base n=1: a_1 = \sqrt{2}<2.
Hipótese: suponha a_n<2.
Passo indutivo:
a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2.
Logo, por indução, a_n<2 para todo n\ge1.

Passo 4

(c) Calculamos diretamente:
a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 + a_n) - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = (2 - a_n)(1 + a_n).

Passo 5

(d) Como por (b) temos 2 - a_n>0 e claramente 1 + a_n>0, o produto
a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 - a_n)(1 + a_n)
é positivo. Então a_{n+1}^2 > a_n^2 e, como todos os a_n são positivos,
segue que
a_{n+1} - a_n > 0,
ou seja, \{a_n\} é estritamente crescente.

Passo 6

(e) A sequência \{a_n\} é crescente (Passo 5) e limitada superiormente por 2 (Passo 3). Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, ela converge. Seja
L = \lim_{n\to\infty}a_n.
Como a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}, tomando limite em ambos os lados,
L = \sqrt{2 + L},
que implica
L^2 = 2 + L \quad\Longrightarrow\quad L^2 - L - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad L \in \{2,\,-1\}.
Mas a_n>0 para todo n, logo L=2.

Resposta

(a) a_{1} = \sqrt{2},\quad a_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}},\quad a_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}.
(b) Por indução, a_n<2 para todo n.
(c) a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 - a_n)(1 + a_n).
(d) Como 2 - a_n>0 e 1 + a_n>0, segue a_{n+1}^2 - a_n^2>0 e, portanto, a_{n+1}>a_n; ou seja, \{a_n\} é estritamente crescente.
(e) \{a_n\} é crescente e limitada acima por 2, logo converge. O limite L satisfaz L = \sqrt{2 + L}, dando L=2.

Exercícios relacionados