- Seja
a sequência definida recursivamente por
.
(a) Dê os três primeiros termos da sequência.
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que
.
(d) Use os resultados nas partes (b) e (c) para mostrar que
é uma sequência estritamente crescente. [Sugestão: Se
e
forem números reais positivos tais que
, então segue por fatoração que
.]
(e) Mostre que
converge e encontre o seu limite
.
(a) Dê os três primeiros termos da sequência.
(b) Mostre que
(c) Mostre que
(d) Use os resultados nas partes (b) e (c) para mostrar que
(e) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede:
(a) os três primeiros termos;
(b) mostrar que ;
(c) provar que ;
(d) usar (b) e (c) para concluir que é estritamente crescente;
(e) mostrar que converge e determinar seu limite
.
Teremos que usar indução, fatoração de diferença de quadrados e o Teorema de Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas.
(a) os três primeiros termos;
(b) mostrar que
(c) provar que
(d) usar (b) e (c) para concluir que
(e) mostrar que
Teremos que usar indução, fatoração de diferença de quadrados e o Teorema de Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas.
Passo 2
(a) Calculamos os três primeiros termos diretamente:
Passo 3
(b) Prova por indução de que
para todo
.
Base :
.
Hipótese: suponha .
Passo indutivo:
Base
Hipótese: suponha
Passo indutivo:
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 4
(c) Calculamos diretamente:
Passo 5
(d) Como por (b) temos
e claramente
, o produto
é positivo. Então
e, como todos os
são positivos,
segue que
segue que
ou seja,
é estritamente crescente.
Passo 6
(e) A sequência
é crescente (Passo 5) e limitada superiormente por
(Passo 3). Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, ela converge. Seja
Como
, tomando limite em ambos os lados,
que implica
Mas
para todo
, logo
.
Resposta
(a)
(b) Por indução, para todo
.
(c)
(d) Como e
, segue
e, portanto,
; ou seja,
é estritamente crescente.
(e) é crescente e limitada acima por
, logo converge. O limite
satisfaz
, dando
.
(b) Por indução,
(c)
(d) Como
(e)