Qual grandeza física têm o mesmo valor em resistores ligados em paralelo? E qual a relação entre a resistência de cada resistor e a resistência equivalente de uma associação em paralelo?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. Qual grandeza física tem o mesmo valor em resistores ligados em paralelo?
  2. Qual é a relação entre a resistência de cada resistor e a resistência equivalente de uma associação em paralelo?
Informações implícitas que podemos usar (não vamos resolver ainda, só listar):
  • Os resistores estão ligados em paralelo, ou seja, todos têm seus terminais ligados aos mesmos dois pontos do circuito (mesmos dois nós).
  • Cada resistor pode conduzir uma corrente diferente, mas estão conectados entre os mesmos dois pontos.
  • Precisamos expressar a relação entre as resistências individuais R_i e a resistência equivalente R_{\text{eq}}.

Passo 2

Entendendo as grandezas elétricas envolvidas (aula rápida e prática):
  • Tensão (diferença de potencial) é a diferença de potencial elétrico entre dois pontos. Vou chamá-la de V. Se temos dois nós A e B, a tensão entre eles é a mesma para qualquer componente que esteja ligado diretamente entre A e B.
  • Corrente é a taxa de fluxo de carga elétrica que passa por um componente; para o resistor i chamo de I_i.
  • Lei de Ohm: ela relaciona tensão, corrente e resistência dentro de um resistor. A forma é
V = I\,R,
onde V é a tensão no resistor, I é a corrente que passa por ele e R é a resistência. Aqui, cada variável:
  • V: volts (V), diferença de potencial entre os terminais do resistor;
  • I: amperes (A), corrente através do resistor;
  • R: ohms ( \Omega), resistência elétrica do resistor.
Explicação aplicada: como todos os resistores em paralelo estão entre os mesmos dois nós A e B, a diferença de potencial entre A e B é uma única quantidade. Portanto, intuitivamente, cada resistor “vê” a mesma tensão. Vamos usar isso formalmente no próximo passo.

Passo 3

Mostrar que a tensão é a mesma em todos os resistores em paralelo (demonstração curta e clara):
  • Todos os resistores estão ligados entre os mesmos dois nós A e B (isso vem da definição de paralelo).
  • A tensão entre A e B é uma única quantidade V. Logo, a tensão nos terminais de cada resistor é igual a essa V.
  • Conclusão (já útil para prova): a grandeza que é igual em todos os resistores em paralelo é a tensão (diferença de potencial) across them.

Passo 4

Derivar a fórmula da resistência equivalente de uma associação em paralelo (passo a passo usando corrente e Lei de Ohm):
  • Seja R_{\text{eq}} a resistência equivalente vista entre os mesmos dois nós A e B. Seja I_{\text{tot}} a corrente total que entra no conjunto paralelo a partir do nó superior e sai pelo nó inferior.
  • A corrente total é a soma das correntes individuais (Lei de Kirchhoff das correntes, que diz que a soma das correntes que entram em um nó é zero; aqui as correntes que saem pelos resistores se somam):
I_{\text{tot}} = \sum_{i} I_i.
  • Pela Lei de Ohm para cada resistor i, a corrente I_i vale
I_i = \frac{V}{R_i},
porque a tensão em cada resistor é V (veja Passo 3).
  • Portanto
I_{\text{tot}} = \sum_{i} \frac{V}{R_i} = V \sum_{i} \frac{1}{R_i}.
  • Por definição de resistência equivalente, a mesma tensão V aplicada a R_{\text{eq}} produz a corrente total I_{\text{tot}}. Pela Lei de Ohm:
I_{\text{tot}} = \frac{V}{R_{\text{eq}}}.
  • Igualando as duas expressões para I_{\text{tot}}:
\frac{V}{R_{\text{eq}}} = V \sum_{i} \frac{1}{R_i}.
  • Supondo V\neq 0 (caso trivial V=0 dá correntes nulas), podemos dividir ambos os lados por V e obter a relação fundamental:
\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum_{i} \frac{1}{R_i}.
Essa é a fórmula que você deve memorizar para resistores em paralelo: a recíproca da resistência equivalente é a soma das recíprocas das resistências individuais.

Passo 5

Caso especial — dois resistores em paralelo (fórmula prática que costuma cair em prova):
  • Para dois resistores R_1 e R_2,
\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1+R_2}{R_1R_2}.
  • Invertendo os dois lados,
R_{\text{eq}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.
Essa fórmula é útil porque permite calcular rápido o equivalente de apenas dois resistores sem somar várias frações.

Passo 6

Propriedade importante e intuição (útil em prova para checar resultados):
  • Em paralelo, a resistência equivalente é sempre menor ou igual à menor das resistências individuais. Prova curta: como \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum_i \frac{1}{R_i} e todos \frac{1}{R_i}>0, então \frac{1}{R_{\text{eq}}} \ge \frac{1}{R_k} para qualquer k. Invertendo, R_{\text{eq}} \le R_k. Portanto R_{\text{eq}} \le \min_i R_i.
  • Intuição: adicionar caminhos paralelos facilita a passagem de corrente, portanto diminui a resistência total.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (faça parecido na prova para conferir): calcular R_{\text{eq}} para R_1=100\\ \Omega e R_2=200\\ \Omega.
  • Usando a fórmula para dois resistores:
R_{\text{eq}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} = \frac{100\cdot 200}{100+200} = \frac{20000}{300} = \frac{200}{3}\\ \Omega \approx 66{,}67\\ \Omega.
  • Checagem rápida: 66{,}67\\ \Omega é menor que 100\\ \Omega, faz sentido com a propriedade do passo anterior.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (resumindo o que decorar e como aplicar):
  • Memorize: “em paralelo a tensão é igual para todos”. Escreva isso assim: a tensão V entre os dois nós é a mesma em cada resistor.
  • Memorize a fórmula principal:
\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum_{i} \frac{1}{R_i}.
  • Para dois resistores use R_{\text{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}.
  • Se precisar de checagem rápida: verifique se R_{\text{eq}} ficou menor que o menor R_i. Se não, algo está errado.

Resposta

A tensão (diferença de potencial) é a mesma em todos os resistores ligados em paralelo: V (igual para cada resistor).
A relação entre as resistências é
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\sum_{i}\frac{1}{R_i},
e, no caso de dois resistores, R_{\text{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}.

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