1. A grandeza principal empregue nas medições da corrente alternada é o seu valor eficaz I.
    a) Demonstre que da expressão I=\sqrt{ }\left(i^{2}\right) med, Obtém se I=I m / \sqrt{ } 2 .(\mathbf{2 , 0} Valores)
    b) Nos aparelhos de medição com momento de rotação quadrática, graduadas para corrente contínua, explique o que acontece quando ligados no circuito de corrente alternada. ( 1,5 Valores)

Passo 1

O enunciado trata da definição de valor eficaz (ou RMS) de uma corrente alternada e de como instrumentos de “momento de rotação quadrática” (isto é, com torque proporcional ao quadrado da corrente) se comportam quando ligados em AC.
Para isso vamos usar:
– A definição de valor eficaz
– A forma da corrente senoidal i(t)=I_{m}\,\sin(\omega t)

Passo 2

A definição de valor eficaz é
I \;=\;\sqrt{\bigl(i^{2}\bigr)_{\text{med}}} \quad\text{com}\quad \bigl(i^{2}\bigr)_{\text{med}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}(t)\,\mathrm{d}t.
Para i(t)=I_{m}\sin(\omega t) temos
i^{2}(t)=I_{m}^{2}\sin^{2}(\omega t) =I_{m}^{2}\,\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}.
Logo
\bigl(i^{2}\bigr)_{\text{med}} =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}I_{m}^{2}\,\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,\mathrm{d}t =I_{m}^{2}\,\frac{1}{2}\biggl[ \underbrace{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}1\,\mathrm{d}t}_{1} -\underbrace{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,\mathrm{d}t}_{0} \biggr] =\frac{I_{m}^{2}}{2}.
Portanto
I=\sqrt{\bigl(i^{2}\bigr)_{\text{med}}} =\sqrt{\frac{I_{m}^{2}}{2}} =\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Instrumentos de “momento de rotação quadrática” (por exemplo, de ferro móvel ou de fio quente) têm torque ou deflexão proporcionais a \overline{i^{2}}. Se forem graduados em corrente contínua, a deflexão para um valor DC I satisfaz
\text{torque}\propto I^{2}.
Quando aplicamos uma corrente alternada senoidal, a deflexão se baseia em
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}(t)\,\mathrm{d}t
e, como vimos, isso é I_{m}^{2}/2. Assim o instrumento, sem alteração na escala, indicará
\sqrt{\frac{I_{m}^{2}}{2}} =\frac{I_{m}}{\sqrt{2}},
ou seja, o valor eficaz da corrente alternada.

Resposta

a) \displaystyle I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}.
b) Quando um instrumento com torque ∝ i^{2} e graduado para DC é ligado a uma senoidal, ele responde ao valor médio de i^{2}(t) e passa a indicar diretamente o valor eficaz I da corrente alternada.

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