1. Qual o grau máximo de um polinômio que interpola n pontos?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual o grau máximo de um polinômio que interpola n pontos?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • n pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n).
  • Vou assumir que as abscissas são distintas, isto é, x_i \neq x_j para i\neq j. (Se houver abscissas iguais com y diferentes, não existe polinômio que interpole; se houver abscissas iguais com mesmo y, as condições são redundantes e a conta efetiva é feita com o número de abscissas distintas.)
    O que é pedido:
  • Determinar qual o maior grau que um polinômio interpolador desses n pontos pode ter (ou seja, um valor máximo possível do grau, sob as hipóteses naturais mencionadas).

Passo 2

Primeiro, o que significa “grau de um polinômio”?
Um polinômio p(x) tem grau d se pode ser escrito como
p(x)=a_d x^d + a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_1 x + a_0
com a_d\neq0. O grau é o maior expoente com coeficiente não nulo. Por exemplo, um polinômio constante tem grau 0, uma reta tem grau 1, uma parábola tem grau 2, etc.

Passo 3

Existência de um polinômio de grau no máximo n-1\) que interpola os \(n\) pontos (construção explícita). Uma construção padrão e direta é a fórmula de Lagrange. Definimos, para cada \(j=1,\dots,n\), o polinômio base \[\ell_j(x)=\prod_{\substack{1\le m\le n\\\ m\ne j}}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Explicando: cada \ell_j(x) é um produto de n-1 fatores da forma \dfrac{x-x_m}{x_j-x_m}. Nesse produto:
  • o numerador (x-x_m) é uma expressão em x;
  • o denominador (x_j-x_m) é uma constante (porque x_j e x_m são dados);
  • portanto \ell_j(x) é um polinômio em x de grau exatamente n-1.
    Propriedade crucial: para k=1,\dots,n vale
\ell_j(x_k)=\begin{cases}1,& k=j,\\[4pt]0,& k\ne j.\end{cases}
Isto acontece porque, se k\ne j\], um dos fatores do produto tem numerador zero (\(x_k-x_k=0), e se k=j cada fator fica \dfrac{x_j-x_m}{x_j-x_m}=1.
Agora constrói-se o polinômio interpolador por
L(x)=\sum_{j=1}^n y_j\,\ell_j(x).
Cada \ell_j tem grau \le n-1, então L(x) tem grau \le n-1. E ao avaliar em x_k obtemos
L(x_k)=\sum_{j=1}^n y_j\,\ell_j(x_k)=y_k,
pois somente o termo j=k sobrevive. Logo existe um polinômio que interpola os n pontos e cujo grau é no máximo n-1.]

Passo 4

Unicidade (por que não pode haver dois polinômios diferentes de grau \le n-1 que interpolem os mesmos n pontos).
Suponha que p(x) e q(x) sejam dois polinômios de grau \le n-1 tais que p(x_i)=q(x_i)=y_i para todos i=1,\dots,n. Considere r(x)=p(x)-q(x). Então:
  • r(x) é um polinômio de grau \le n-1;
  • r(x_i)=0 para i=1,\dots,n, ou seja, r tem n raízes distintas x_1,\dots,x_n.
    Uma propriedade básica de polinômios: um polinômio não nulo de grau m tem no máximo m raízes distintas. Como r teria n raízes, isso só é possível se r for o polinômio nulo. Logo p\equiv q. Portanto o polinômio interpolador com grau \le n-1 é único. Isso mostra também que o grau máximo necessário é realmente n-1.

Passo 5

Por que dizemos “grau máximo” ser exatamente n-1 (existem casos em que é preciso chegar a n-1)?
Mostramos que sempre existe um interpolador com grau \le n-1. Para ver que este limite é atingível (ou seja, não dá para garantir um grau máximo menor em todos os casos), basta dar um exemplo de n pontos que não sejam interpoláveis por polinômios de grau menor que n-1. Por exemplo, escolha pontos com abscissas distintas x_1,\dots,x_n e tome y_i=x_i^{\,n-1}. O polinômio p(x)=x^{n-1} interpola esses pontos e tem grau exatamente n-1. Em muitos conjuntos genéricos de pontos os coeficientes do interpolador resultam num polinômio de grau exatamente n-1. Portanto o maior grau que pode ser necessário é n-1.

Passo 6

Resumo e implacável conclusão lógica:
  • Para n pontos com abscissas distintas existe sempre um único polinômio interpolador cujo grau é no máximo n-1.
  • Há conjuntos de n pontos que exigem um polinômio de grau exatamente n-1.
    Logo o grau máximo (no sentido de maior grau que possa ser necessário para interpolar n pontos em posição geral) é n-1.

Passo 7

Observações práticas e dicas para prova/exame:
  • Se, ao resolver um problema, for dado que alguns x_i coincidem, primeiro conte o número de abscissas distintas; o limite passa a ser o número de abscissas distintas menos 1. Se houver abscissas iguais com valores y distintos, diga que a interpolação por polinômio é impossível.
  • Para calcular o polinômio na prova, use a fórmula de Lagrange acima ou o método de Newton (baseado em diferenças divididas) — ambos dão o mesmo resultado; a fórmula de Lagrange é direta para escrever a solução.
  • Lembre que a unicidade normalmente é provada pela consideração da diferença dos dois polinômios e do fato “polinômio de grau m tem no máximo m raízes”.

Resposta

O grau máximo é n-1 (assumindo que as n abscissas são distintas).

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