- Qual o grau máximo de um polinômio que interpola
pontos?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual o grau máximo de um polinômio que interpola
pontos?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Há
pontos . - Vou assumir que as abscissas são distintas, isto é,
para . (Se houver abscissas iguais com diferentes, não existe polinômio que interpole; se houver abscissas iguais com mesmo , as condições são redundantes e a conta efetiva é feita com o número de abscissas distintas.)
O que é pedido: - Determinar qual o maior grau que um polinômio interpolador desses
pontos pode ter (ou seja, um valor máximo possível do grau, sob as hipóteses naturais mencionadas).
Passo 2
Primeiro, o que significa “grau de um polinômio”?
Um polinômio tem grau
se pode ser escrito como
Um polinômio
com
. O grau é o maior expoente com coeficiente não nulo. Por exemplo, um polinômio constante tem grau
, uma reta tem grau
, uma parábola tem grau
, etc.
Passo 3
Existência de um polinômio de grau no máximo
Explicando: cada
é um produto de
fatores da forma
. Nesse produto:
- o numerador
é uma expressão em ; - o denominador
é uma constante (porque e são dados); - portanto
é um polinômio em de grau exatamente .
Propriedade crucial: paravale
Isto acontece porque, se
), e se
cada fator fica
.
Agora constrói-se o polinômio interpolador por
Cada
tem grau
, então
tem grau
. E ao avaliar em
obtemos
pois somente o termo
sobrevive. Logo existe um polinômio que interpola os
pontos e cujo grau é no máximo
.]
Passo 4
Unicidade (por que não pode haver dois polinômios diferentes de grau
que interpolem os mesmos
pontos).
Suponha que e
sejam dois polinômios de grau
tais que
para todos
. Considere
. Então:
Suponha que
-
é um polinômio de grau ; -
para , ou seja, tem raízes distintas .
Uma propriedade básica de polinômios: um polinômio não nulo de grautem no máximo raízes distintas. Como teria raízes, isso só é possível se for o polinômio nulo. Logo . Portanto o polinômio interpolador com grau é único. Isso mostra também que o grau máximo necessário é realmente .
Passo 5
Por que dizemos “grau máximo” ser exatamente
(existem casos em que é preciso chegar a
)?
Mostramos que sempre existe um interpolador com grau . Para ver que este limite é atingível (ou seja, não dá para garantir um grau máximo menor em todos os casos), basta dar um exemplo de
pontos que não sejam interpoláveis por polinômios de grau menor que
. Por exemplo, escolha pontos com abscissas distintas
e tome
. O polinômio
interpola esses pontos e tem grau exatamente
. Em muitos conjuntos genéricos de pontos os coeficientes do interpolador resultam num polinômio de grau exatamente
. Portanto o maior grau que pode ser necessário é
.
Mostramos que sempre existe um interpolador com grau
Passo 6
Resumo e implacável conclusão lógica:
- Para
pontos com abscissas distintas existe sempre um único polinômio interpolador cujo grau é no máximo . - Há conjuntos de
pontos que exigem um polinômio de grau exatamente .
Logo o grau máximo (no sentido de maior grau que possa ser necessário para interpolarpontos em posição geral) é .
Passo 7
Observações práticas e dicas para prova/exame:
- Se, ao resolver um problema, for dado que alguns
coincidem, primeiro conte o número de abscissas distintas; o limite passa a ser o número de abscissas distintas menos 1. Se houver abscissas iguais com valores distintos, diga que a interpolação por polinômio é impossível. - Para calcular o polinômio na prova, use a fórmula de Lagrange acima ou o método de Newton (baseado em diferenças divididas) — ambos dão o mesmo resultado; a fórmula de Lagrange é direta para escrever a solução.
- Lembre que a unicidade normalmente é provada pela consideração da diferença dos dois polinômios e do fato “polinômio de grau
tem no máximo raízes”.
Resposta
O grau máximo é
(assumindo que as
abscissas são distintas).