- Dado o seguinte conjunto de pontos sobre a função
:
(a) Encontre o polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método das diferenças finitas. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto de pontos sobre a função
e pede para encontrar o polinômio interpolador usando o método das diferenças finitas, arredondando para 4 casas decimais. Dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado):
-
, -
, -
, -
,
O passo seguinte é construir a tabela de diferenças finitas (nós temos nós igualmente espaçados) e montar o polinômio de Newton apropriado. Vou detalhar cada etapa com calma.
Passo 2
Primeiro, verificar o espaçamento entre os
. Calcular o passo
:
Como os pontos são igualmente espaçados com
, podemos usar o polinômio de Newton na forma “forward” (parte inicial). Introduzimos a variável adimensional
A forma geral do polinômio de Newton com diferenças finitas (até terceira ordem, pois há 4 pontos) é:
Vou calcular as diferenças
,
e
e arredondar para 4 casas decimais conforme pedido.
Passo 3
Construção da tabela de diferenças (cada diferença arredondada para 4 casas decimais):
Primeiras diferenças:
Segundas diferenças:
Terceira diferença:
Todos os valores acima já estão arredondados a 4 casas decimais conforme solicitado.
Passo 4
Agora substituir essas diferenças na fórmula de Newton. Lembrando de dividir as diferenças de ordem
por
quando aparecem:
Portanto a forma de Newton em função de
fica:
Para clareza, vou escrever essa mesma expressão expandida em potências de
. Primeiro expando os produtos:
Substituindo:
onde os termos multiplicados por constantes foram calculados com arredondamento intercalar a 4 casas. Agora calculo cada coeficiente em
com 4 casas:
Logo, em potências de
:
Passo 5
Agora substituo
para obter o polinômio em potências de
. Primeiro calculo
,
e
em termos de
:
Passo 6
Substituo as expressões de
,
,
em
e agrupo os coeficientes de
,
,
e termo constante. Calculemos termo a termo (com arredondamento final a 4 casas decimais):
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Os arredondamentos acima são feitos de modo a manter 4 casas decimais nos coeficientes finais.
Passo 7
Portanto, o polinômio interpolador expandido em potências de
, com coeficientes arredondados a 4 casas decimais, é:
Também se pode apresentar a forma de Newton (em
) que foi obtida antes da expansão:
com
.
Resposta
Polinômio em forma de Newton (variável
):
Polinômio expandido em potências de
(coeficientes com 4 casas decimais):