1. Dado o seguinte conjunto de pontos sobre a função f(x) :
(a) Encontre o polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método das diferenças finitas. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de pontos sobre a função f(x) e pede para encontrar o polinômio interpolador usando o método das diferenças finitas, arredondando para 4 casas decimais. Dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado):
  • x_0 = 0,2, y_0 = 0,5998
  • x_1 = 0,6, y_1 = 1,7355
  • x_2 = 1,0, y_2 = 2,0458
  • x_3 = 1,4, y_3 = -1,5168
O passo seguinte é construir a tabela de diferenças finitas (nós temos nós igualmente espaçados) e montar o polinômio de Newton apropriado. Vou detalhar cada etapa com calma.

Passo 2

Primeiro, verificar o espaçamento entre os x_i. Calcular o passo h:
h = x_1 - x_0 = 0,6 - 0,2 = 0,4.
Como os pontos são igualmente espaçados com h=0,4, podemos usar o polinômio de Newton na forma “forward” (parte inicial). Introduzimos a variável adimensional
s = \frac{x - x_0}{h} = \frac{x - 0,2}{0,4} = 2,5x - 0,5.
A forma geral do polinômio de Newton com diferenças finitas (até terceira ordem, pois há 4 pontos) é:
P(x)=y_0 + s\,\Delta y_0 + \frac{s(s-1)}{2!}\,\Delta^2 y_0 + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\,\Delta^3 y_0.
Vou calcular as diferenças \Delta y, \Delta^2 y e \Delta^3 y e arredondar para 4 casas decimais conforme pedido.

Passo 3

Construção da tabela de diferenças (cada diferença arredondada para 4 casas decimais):
Primeiras diferenças:
\begin{aligned} \Delta y_0 &= y_1 - y_0 = 1,7355 - 0,5998 = 1,1357,\\\ \Delta y_1 &= y_2 - y_1 = 2,0458 - 1,7355 = 0,3103,\\\ \Delta y_2 &= y_3 - y_2 = -1,5168 - 2,0458 = -3,5626. \end{aligned}
Segundas diferenças:
\begin{aligned} \Delta^2 y_0 &= \Delta y_1 - \Delta y_0 = 0,3103 - 1,1357 = -0,8254,\\\ \Delta^2 y_1 &= \Delta y_2 - \Delta y_1 = -3,5626 - 0,3103 = -3,8729. \end{aligned}
Terceira diferença:
\Delta^3 y_0 = \Delta^2 y_1 - \Delta^2 y_0 = -3,8729 - (-0,8254) = -3,0475.
Todos os valores acima já estão arredondados a 4 casas decimais conforme solicitado.

Passo 4

Agora substituir essas diferenças na fórmula de Newton. Lembrando de dividir as diferenças de ordem k por k! quando aparecem:
\begin{aligned} \frac{\Delta^2 y_0}{2!} &= \frac{-0,8254}{2} = -0,4127,\\\ \frac{\Delta^3 y_0}{3!} &= \frac{-3,0475}{6} = -0,5079\quad\text{(arredondado a 4 casas)}. \end{aligned}
Portanto a forma de Newton em função de s fica:
P(x)=0,5998 + 1,1357\,s - 0,4127\,s(s-1) - 0,5079\,s(s-1)(s-2).
Para clareza, vou escrever essa mesma expressão expandida em potências de s. Primeiro expando os produtos:
s(s-1)=s^2 - s,\qquad s(s-1)(s-2)=s^3 -3s^2 +2s.
Substituindo:
\begin{aligned} P(x) &= 0,5998 + 1,1357s -0,4127(s^2 - s) -0,5079(s^3 -3s^2 +2s)\\\ &= 0,5998 + (1,1357 +0,4127 -1,0158)s + ( -0,4127 +1,5237)s^2 -0,5079 s^3, \end{aligned}
onde os termos multiplicados por constantes foram calculados com arredondamento intercalar a 4 casas. Agora calculo cada coeficiente em s com 4 casas:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }s^3 & = -0,5079,\\\ \text{coeficiente de }s^2 & = -0,4127 + 1,5237 = 1,1110,\\\ \text{coeficiente de }s & = 1,1357 + 0,4127 -1,0158 = 0,5326,\\\ \text{constante} & = 0,5998. \end{aligned}
Logo, em potências de s:
P(x)=0,5998 + 0,5326\,s + 1,1110\,s^2 -0,5079\,s^3.

Passo 5

Agora substituo s = 2,5x - 0,5 para obter o polinômio em potências de x. Primeiro calculo s, s^2 e s^3 em termos de x:
\begin{aligned} s &= 2,5x - 0,5,\\[4pt] s^2 &= (2,5x - 0,5)^2 = 6,25x^2 - 2,5x + 0,25,\\[4pt] s^3 &= (2,5x - 0,5)^3 = 15,625x^3 - 9,375x^2 + 1,875x - 0,125. \end{aligned}]

Passo 6

Substituo as expressões de s, s^2, s^3 em
P(x)=0,5998 + 0,5326\,s + 1,1110\,s^2 -0,5079\,s^3,
e agrupo os coeficientes de x^3, x^2, x e termo constante. Calculemos termo a termo (com arredondamento final a 4 casas decimais):
Coeficiente de x^3:
-0,5079 \times 15,625 = -7,9359375 \longrightarrow -7,9359.
Coeficiente de x^2:
1,1110 \times 6,25 + (-0,5079)\times(-9,375) = 6,94375 + 4,7615625 = 11,7053125 \longrightarrow 11,7053.
Coeficiente de x:
0,5326\times 2,5 + 1,1110\times(-2,5) + (-0,5079)\times 1,875 = 1,3315 -2,7775 -0,9523125 = -2,3983125 \longrightarrow -2,3983.
Termo constante:
0,5998 + 0,5326\times(-0,5) + 1,1110\times 0,25 + (-0,5079)\times(-0,125)
= 0,5998 -0,2663 +0,27775 +0,0634875 = 0,6747375 \longrightarrow 0,6747.
Os arredondamentos acima são feitos de modo a manter 4 casas decimais nos coeficientes finais.

Passo 7

Portanto, o polinômio interpolador expandido em potências de x, com coeficientes arredondados a 4 casas decimais, é:
P(x) = -7,9359\,x^3 + 11,7053\,x^2 - 2,3983\,x + 0,6747.
Também se pode apresentar a forma de Newton (em s) que foi obtida antes da expansão:
P(x)=0,5998 + 1,1357\,s - 0,4127\,s(s-1) - 0,5079\,s(s-1)(s-2),
com s=\dfrac{x-0,2}{0,4}.

Resposta

Polinômio em forma de Newton (variável s=\dfrac{x-0,2}{0,4}):
P(x)=0,5998 + 1,1357\,s - 0,4127\,s(s-1) - 0,5079\,s(s-1)(s-2).
Polinômio expandido em potências de x (coeficientes com 4 casas decimais):
P(x) = -7,9359\,x^3 + 11,7053\,x^2 - 2,3983\,x + 0,6747.

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