Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Passo 1
Nesse exercício temos um grupo de 99 esportistas que praticam as modalidades vôlei (V), xadrez (X) e tênis (T). Foram dados:
,
,
,
,
, e ainda
. Para resolver precisamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos e o conceito de complemento.
Passo 2
Vamos aplicar a fórmula de inclusão-exclusão para o número de esportistas que praticam pelo menos uma das modalidades. Em bloco, temos:
[|V\cup X\cup T| = |V| + |X| + |T| - |V\cap X| - |V\cap T| - |X\cap T| + |V\cap X\cap T|]
Substituindo ,
,
,
,
e
, e usando
:
[99 = 40 + |X| + |T| - 20 - 18 - 22 + 11]
[99 = -9 + 2|X| \quad\Rightarrow\quad 2|X| = 108 \quad\Rightarrow\quad |X| = 54]
[|V\cup X\cup T| = |V| + |X| + |T| - |V\cap X| - |V\cap T| - |X\cap T| + |V\cap X\cap T|]
Substituindo
[99 = 40 + |X| + |T| - 20 - 18 - 22 + 11]
[99 = -9 + 2|X| \quad\Rightarrow\quad 2|X| = 108 \quad\Rightarrow\quad |X| = 54]
Passo 3
Agora calculamos o número de esportistas que jogam vôlei e não jogam xadrez, ou seja
. Pelo princípio do complemento dentro de V:
[|V\cap X^c| = |V| - |V\cap X| = 40 - 20 = 20]
[|V\cap X^c| = |V| - |V\cap X| = 40 - 20 = 20]
Resposta
20