Um grupo de engenheiros está projetando instalações industriais para produção de alumínio, realizada pela eletrólise ígnea do \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}. No polo negativo da célula eletrolítica (cátodo) ocorre a redução do alumínio. A fábrica irá operar com 50 celas eletrolíticas, todas funcionando ao mesmo tempo. Em cada cela circulará uma corrente de 9.650 A . Qual será a produção de alumínio desta fábrica em um ano? Com o valor de R$/kW.h igual a \mathbf{0 , 6 0}, qual seria a conta de luz apenas para esta operação?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos 50 celas de eletrólise de alumínio operando simultaneamente, cada uma com corrente I = 9\,650\:\mathrm{A}, durante um ano. Para calcular a produção anual de alumínio usaremos a Lei de Faraday, que diz que a massa produzida é
m = \frac{I\,t\,M}{n\,F},
onde t é o tempo, M a massa molar do alumínio 26{,}98\:\mathrm{g/mol}, n=3 o número de elétrons por átomo de Al e F=96\,485\:\mathrm{C/mol}. Para estimar o custo de energia, vamos supor uma tensão de operação típica de 4\:\mathrm{V} por cela e então calcular a energia elétrica total como
E = U\,I\,N\,t,
em que U é a tensão, N=50 o número de celas, e converteremos para kWh para depois multiplicar pelo custo de R$ 0,60/kWh.

Passo 2

Calculando a carga elétrica total que passa por cada cela em um ano:
t = 1\:\text{ano} = 8760\:\mathrm{h} = 8760\times3600 = 3{,}1536\times10^{7}\:\mathrm{s},
Q_{\rm cela} = I\,t = 9\,650\:\mathrm{A}\times3{,}1536\times10^{7}\:\mathrm{s} = 3{,}044\times10^{11}\:\mathrm{C}.

Passo 3

Usando a Lei de Faraday para massa de Al por cela:
\text{mols de }e^- = \frac{Q_{\rm cela}}{F} = \frac{3{,}044\times10^{11}}{96\,485} = 3{,}152\times10^{6}\:\mathrm{mol},
\text{mols de Al} = \frac{3{,}152\times10^{6}}{3} = 1{,}051\times10^{6}\:\mathrm{mol},
m_{\rm cela} = 1{,}051\times10^{6}\:\mathrm{mol}\times26{,}98\:\mathrm{g/mol} = 2{,}838\times10^{7}\:\mathrm{g} = 28{,}38\times10^{3}\:\mathrm{kg} = 28{,}38\:\mathrm{t}.

Passo 4

Multiplicando pelas 50 celas, a produção anual total de alumínio é
m_{\rm total} = 28{,}38\:\mathrm{t}\times50 = 1\,419\:\mathrm{t} = 1{,}419\times10^{6}\:\mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo da energia elétrica consumida em um ano, com U=4\:\mathrm{V}:
P_{\rm total} = U\,I\,N = 4\:\mathrm{V}\times9\,650\:\mathrm{A}\times50 = 1{,}93\times10^{6}\:\mathrm{W} = 1{,}93\times10^{3}\:\mathrm{kW},
E = P_{\rm total}\times8760\:\mathrm{h} = 1{,}93\times10^{3}\:\mathrm{kW}\times8760\:\mathrm{h} = 1{,}6897\times10^{7}\:\mathrm{kWh}.

Passo 6

Custo da energia à tarifa de R$ 0,60/kWh:
\text{Custo} = 1{,}6897\times10^{7}\:\mathrm{kWh}\times0{,}60\:\mathrm{R\$}/\mathrm{kWh} = 1{,}0138\times10^{7}\:\mathrm{R\$} \approx 10{,}1\:\text{milhões de reais}.õ

Resposta

Produção anual de alumínio: aproximadamente 1{,}419\times10^{6}\:\mathrm{kg} (ou 1\,419\:\mathrm{t}).
Conta de luz anual para essa operação: cerca de R$ 1,0\times10^{7} (≈ R$ 10,1 milhões).

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