GUIDORIZZI Dois carros, A e B, partem simultaneamente de um cruzamento rodoviário de duas estradas retas e perpendiculares. O carro A viaja para o leste a uma velocidade constante de
km/h, e o carro
desloca-se para o norte a uma velocidade constante de
. A que taxa a distância linear direta entre os dois veículos está crescendo após 2 horas de percurso?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois carros partem simultaneamente do mesmo cruzamento.
- O carro A vai para o leste com velocidade constante
. - O carro B vai para o norte com velocidade constante
. - Pergunta: “A que taxa a distância direta entre os dois veículos está crescendo após
horas de percurso?” — ou seja, pedir no instante , onde é a distância entre os carros.
Passo 2
Definir variáveis e a relação geométrica (a tal da Pythagoras que é nossa amiga aqui).
- Seja
a distância do carro A ao cruzamento (eixo leste), com e velocidade . - Seja
a distância do carro B ao cruzamento (eixo norte), com e velocidade . - A distância direta entre os carros é
. Pela geometria do triângulo retângulo formado,
Aqui cada variável tem significado:
e
são comprimentos (km),
também (km);
,
,
têm unidades km/h.
Passo 3
Diferenciar a relação para obter a taxa pedida (a famosa técnica de “related rates” / taxas relacionadas).
- Aplicamos derivada em ambos os lados em relação ao tempo
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de é ; a derivada de é ; idem para .
- Cancelando o fator
,
Essa fórmula é muito útil: ela dá a taxa de variação da distância direta em termos das distâncias
, suas taxas e a distância
.
Passo 4
Calcular
e
no instante
.
- Como as velocidades são constantes e partiram do cruzamento,
- Calcular
pela Pythagoras:
Passo 5
Substituir na fórmula de
e calcular numericame nte.
- Usando
no instante
temos:
- Calcular o numerador:
- Então
Passo 6
Interpretação e dica prática para a prova (mini-aula rápida e jeito esperto de ver o problema).
- Observação elegante: como ambos partiram do mesmo ponto com velocidades constantes,
e . Logo o vetor posição é simplesmente , ou seja, paralelo ao vetor velocidade . Nesse caso a taxa de variação da distância entre os carros é exatamente a magnitude do vetor velocidade :
- Em geral, se as posições não são escalares das velocidades, deve-se usar a fórmula obtida no Passo 3. Na prova, ao ver números simples como
e tempo inteiro, vale sempre checar se as posições ficam proporcionais — isso pode simplificar muito o cálculo.