GUIDORIZZI Dois carros, A e B, partem simultaneamente de um cruzamento rodoviário de duas estradas retas e perpendiculares. O carro A viaja para o leste a uma velocidade constante de \mathbf{8 0} km/h, e o carro \boldsymbol{B} desloca-se para o norte a uma velocidade constante de \mathbf{6 0 ~ k m} / \boldsymbol{h}. A que taxa a distância linear direta entre os dois veículos está crescendo após 2 horas de percurso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois carros partem simultaneamente do mesmo cruzamento.
  • O carro A vai para o leste com velocidade constante \,80\\ \text{km/h}.
  • O carro B vai para o norte com velocidade constante \,60\\ \text{km/h}.
  • Pergunta: “A que taxa a distância direta entre os dois veículos está crescendo após 2 horas de percurso?” — ou seja, pedir \dfrac{dr}{dt} no instante t=2\\ \text{h}, onde r(t) é a distância entre os carros.

Passo 2

Definir variáveis e a relação geométrica (a tal da Pythagoras que é nossa amiga aqui).
  • Seja x(t) a distância do carro A ao cruzamento (eixo leste), com x(0)=0 e velocidade \dfrac{dx}{dt}=80\\ \text{km/h}.
  • Seja y(t) a distância do carro B ao cruzamento (eixo norte), com y(0)=0 e velocidade \dfrac{dy}{dt}=60\\ \text{km/h}.
  • A distância direta entre os carros é r(t). Pela geometria do triângulo retângulo formado,
r(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2.
Aqui cada variável tem significado: x e y são comprimentos (km), r também (km); \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dr}{dt} têm unidades km/h.

Passo 3

Diferenciar a relação para obter a taxa pedida (a famosa técnica de “related rates” / taxas relacionadas).
  • Aplicamos derivada em ambos os lados em relação ao tempo t. Usamos a regra da cadeia: a derivada de r^2 é 2r\,\dfrac{dr}{dt}; a derivada de x^2 é 2x\,\dfrac{dx}{dt}; idem para y^2.
\frac{d}{dt}\big(r^2\big)=\frac{d}{dt}\big(x^2+y^2\big) \quad\Longrightarrow\quad 2r\,\frac{dr}{dt}=2x\,\frac{dx}{dt}+2y\,\frac{dy}{dt}.
  • Cancelando o fator 2,
\frac{dr}{dt}=\frac{x\,\dfrac{dx}{dt}+y\,\dfrac{dy}{dt}}{r}.
Essa fórmula é muito útil: ela dá a taxa de variação da distância direta em termos das distâncias x,y, suas taxas e a distância r.

Passo 4

Calcular x,y e r no instante t=2\\ \text{h}.
  • Como as velocidades são constantes e partiram do cruzamento,
x(2)=\left(\frac{dx}{dt}\right)\cdot 2 = 80\cdot 2 = 160\\ \text{km},
y(2)=\left(\frac{dy}{dt}\right)\cdot 2 = 60\cdot 2 = 120\\ \text{km}.
  • Calcular r(2) pela Pythagoras:
r(2)=\sqrt{x(2)^2+y(2)^2}=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{25600+14400}=\sqrt{40000}=200\\ \text{km}.

Passo 5

Substituir na fórmula de \dfrac{dr}{dt} e calcular numericame nte.
  • Usando
\frac{dr}{dt}=\frac{x\,\dfrac{dx}{dt}+y\,\dfrac{dy}{dt}}{r},
no instante t=2 temos:
\frac{dr}{dt}\Big|_{t=2}=\frac{160\cdot 80 + 120\cdot 60}{200}.
  • Calcular o numerador:
160\cdot 80 = 12800,\qquad 120\cdot 60 = 7200,\qquad 12800+7200=20000.
  • Então
\frac{dr}{dt}\Big|_{t=2}=\frac{20000}{200}=100\\ \text{km/h}.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova (mini-aula rápida e jeito esperto de ver o problema).
  • Observação elegante: como ambos partiram do mesmo ponto com velocidades constantes, x(t)=80t e y(t)=60t. Logo o vetor posição (x,y) é simplesmente t(80,60), ou seja, paralelo ao vetor velocidade (80,60). Nesse caso a taxa de variação da distância entre os carros é exatamente a magnitude do vetor velocidade (80,60):
\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\\ \text{km/h}.
  • Em geral, se as posições não são escalares das velocidades, deve-se usar a fórmula obtida no Passo 3. Na prova, ao ver números simples como 80,60 e tempo inteiro, vale sempre checar se as posições ficam proporcionais — isso pode simplificar muito o cálculo.

Resposta

100\\ \text{km/h}

Exercícios relacionados