INSPIRADO NO STEWART (Sistemas de Potência e Eletricidade) Em um laboratório de automação, três resistores ajustáveis estão conectados em uma malha paralela, gerando uma resistência equivalente \boldsymbol{R} que obedece à equação \mathbf{1} / \boldsymbol{R}=\mathbf{1} / \boldsymbol{R}_{\mathbf{1}}+\mathbf{1} / \boldsymbol{R}_{\mathbf{2}}+\mathbf{1} / \boldsymbol{R}_{3}. Se \boldsymbol{R}_{1} aumenta a \mathbf{2} \boldsymbol{\Omega} / \mathbf{s}, \boldsymbol{R}_{2} aumenta a \mathbf{3} \boldsymbol{\Omega} / \boldsymbol{s} e \boldsymbol{R}_{3} permanece fixo em 100 \Omega, determine a taxa de variação da resistência equivalente \boldsymbol{R} no instante em que R_{1}=40 \Omega e R_{2}=60 \Omega.

Passo 1

O enunciado nos dá uma associação em paralelo de três resistores e pede a taxa de variação da resistência equivalente no instante indicado. Informações fornecidas:
  • A resistência equivalente R satisfaz \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}.
  • As taxas são \dfrac{dR_1}{dt}=2\\ \Omega/\mathrm{s} e \dfrac{dR_2}{dt}=3\\ \Omega/\mathrm{s}.
  • R_3 é fixa: \dfrac{dR_3}{dt}=0 e R_3=100\\ \Omega.
  • Devemos encontrar \dfrac{dR}{dt} no instante em que R_1=40\\ \Omega e R_2=60\\ \Omega.

Passo 2

Calcular primeiro o valor de R naquele instante usando a relação dada. Vou colocar a soma das inversas e obter R:
\frac{1}{R}=\frac{1}{40}+\frac{1}{60}+\frac{1}{100}.
Colocando em denominador comum 600:
\frac{1}{40}=\frac{15}{600},\qquad \frac{1}{60}=\frac{10}{600},\qquad \frac{1}{100}=\frac{6}{600},
logo
\frac{1}{R}=\frac{15+10+6}{600}=\frac{31}{600}.
Portanto
R=\frac{600}{31}\\ \Omega.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente a relação \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3} em relação ao tempo t. Vou explicar a regra usada: a derivada de \dfrac{1}{x} em relação a t (com x=x(t)) é -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{dx}{dt} (regra do quociente ou da cadeia). Aplicando em cada termo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R}\right) = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R_1}\right)+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R_2}\right)+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R_3}\right).
Isto dá
-\frac{1}{R^2}\,\frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2}\,\frac{dR_1}{dt} -\frac{1}{R_2^2}\,\frac{dR_2}{dt} -\frac{1}{R_3^2}\,\frac{dR_3}{dt}.
Como \dfrac{dR_3}{dt}=0, o último termo some. Multiplicando por -1 obtemos uma expressão direta para \dfrac{dR}{dt}:
\frac{1}{R^2}\,\frac{dR}{dt} = \frac{1}{R_1^2}\,\frac{dR_1}{dt} + \frac{1}{R_2^2}\,\frac{dR_2}{dt}.
Portanto
\frac{dR}{dt} = R^2\!\left(\frac{1}{R_1^2}\,\frac{dR_1}{dt} + \frac{1}{R_2^2}\,\frac{dR_2}{dt}\right).
Essa fórmula faz sentido fisicamente: pequenas variações em R_1,R_2 afetam 1/R e, por meio da diferencial, determinam a variação de R.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula. Primeiro calcular os termos internos:
\frac{1}{R_1^2}\,\frac{dR_1}{dt}=\frac{1}{40^2}\cdot 2=\frac{2}{1600}=\frac{1}{800},
\frac{1}{R_2^2}\,\frac{dR_2}{dt}=\frac{1}{60^2}\cdot 3=\frac{3}{3600}=\frac{1}{1200}.
Somando:
\frac{1}{R_1^2}\,\frac{dR_1}{dt}+\frac{1}{R_2^2}\,\frac{dR_2}{dt}=\frac{1}{800}+\frac{1}{1200}=\frac{5}{2400}=\frac{1}{480}.

Passo 5

Agora usar R=\dfrac{600}{31} e calcular \dfrac{dR}{dt}:
\frac{dR}{dt} = \left(\frac{600}{31}\right)^2\cdot\frac{1}{480}.
Simplificando:
\left(\frac{600}{31}\right)^2=\frac{360000}{961}, \qquad \frac{360000}{961}\cdot\frac{1}{480}=\frac{360000}{961\cdot480}=\frac{750}{961}.
Em forma decimal:
\frac{750}{961}\approx 0{,}7800\\ \Omega/\mathrm{s}.
Interpretação curta: o resultado é positivo, ou seja, a resistência equivalente R está aumentando naquele instante — isso ocorre porque ambos R_1 e R_2 estão aumentando.

Resposta

\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{750}{961}\\ \Omega/\mathrm{s}\approx0{,}7800\\ \Omega/\mathrm{s}

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