INSPIRADO NO STEWART (Sistemas de Potência e Eletricidade) Em um laboratório de automação, três resistores ajustáveis estão conectados em uma malha paralela, gerando uma resistência equivalente
que obedece à equação
. Se
aumenta a
aumenta a
e
permanece fixo em
, determine a taxa de variação da resistência equivalente
no instante em que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma associação em paralelo de três resistores e pede a taxa de variação da resistência equivalente no instante indicado. Informações fornecidas:
- A resistência equivalente
satisfaz . - As taxas são
e . -
é fixa: e . - Devemos encontrar
no instante em que e .
Passo 2
Calcular primeiro o valor de
naquele instante usando a relação dada. Vou colocar a soma das inversas e obter
:
Colocando em denominador comum
:
logo
Portanto
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente a relação
em relação ao tempo
. Vou explicar a regra usada: a derivada de
em relação a
(com
) é
(regra do quociente ou da cadeia). Aplicando em cada termo:
Isto dá
Como
, o último termo some. Multiplicando por
obtemos uma expressão direta para
:
Portanto
Essa fórmula faz sentido fisicamente: pequenas variações em
afetam
e, por meio da diferencial, determinam a variação de
.
Passo 4
Substituir os valores numéricos na fórmula. Primeiro calcular os termos internos:
Somando:
Passo 5
Agora usar
e calcular
:
Simplificando:
Em forma decimal:
Interpretação curta: o resultado é positivo, ou seja, a resistência equivalente
está aumentando naquele instante — isso ocorre porque ambos
e
estão aumentando.