GUIDORIZZI Um homem de
de altura caminha com uma velocidade constante de
, afastando-se de um poste de iluminação cuja lâmpada está posicionada a 5 metros de altura em relação ao solo plano. Encontre a taxa com que o comprimento da sombra do homem está aumentando quando ele se encontra a 4 metros de distância da base do poste.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Altura do homem:
. - Velocidade do homem afastando-se do poste (taxa de aumento da distância do homem à base do poste):
. - Altura da lâmpada (poste):
. - No instante de interesse, a distância do homem à base do poste é
.
- Altura do homem:
- O que o enunciado pede:
- A taxa com que o comprimento da sombra do homem está aumentando naquele instante, ou seja,
quando .
- A taxa com que o comprimento da sombra do homem está aumentando naquele instante, ou seja,
Passo 2
Definição das variáveis e ideia geométrica (sem resolver ainda).
- Seja
a distância do homem até a base do poste, em metros. - Seja
o comprimento da sombra do homem, em metros. - Geometricamente temos dois triângulos semelhantes: o triângulo formado pela lâmpada e o chão até a ponta da sombra (altura
, base ) e o triângulo formado pelo homem e sua sombra (altura , base ). - Triângulos semelhantes significam que as razões das alturas são iguais às razões das bases correspondentes. Isso nos fornece uma relação algébrica entre
e .
Passo 3
Montar a equação usando semelhança de triângulos e manipulação algébrica.
- Pela semelhança:
- Multiplicando em cruz:
- Desenvolvendo o lado direito:
- Isolando os termos com
: - Calculando a diferença numérica (
): - Portanto, expressando
em função de : - Simplificando multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 4
Explicar e aplicar diferenciação em relação ao tempo (taxas relacionadas).
- Como
e variam com o tempo, diferenciamos a relação encontrada em relação a . - Regra usada: derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, se
então . - Diferenciando
em relação a :
Passo 5
Substituir o valor da velocidade do homem e calcular
.
- Foi dado que
. Para evitar mistura de decimais, escrevo . - Substituindo:
- Fazer o produto e simplificar:
- Dividindo numerador e denominador por
: - Em valor decimal aproximado:
- Interpretação rápida: sinal positivo significa que o comprimento da sombra está aumentando, como era de esperar já que o homem se afasta do poste.