GUIDORIZZI Um homem de 1,70 \boldsymbol{m} de altura caminha com uma velocidade constante de 1,2 \boldsymbol{m} / \boldsymbol{s}, afastando-se de um poste de iluminação cuja lâmpada está posicionada a 5 metros de altura em relação ao solo plano. Encontre a taxa com que o comprimento da sombra do homem está aumentando quando ele se encontra a 4 metros de distância da base do poste.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Altura do homem: \,1,70\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do homem afastando-se do poste (taxa de aumento da distância do homem à base do poste): \dfrac{dx}{dt}=1,2\\ \mathrm{m/s}.
    • Altura da lâmpada (poste): \,5\\ \mathrm{m}.
    • No instante de interesse, a distância do homem à base do poste é \,4\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • A taxa com que o comprimento da sombra do homem está aumentando naquele instante, ou seja, \dfrac{ds}{dt} quando x=4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definição das variáveis e ideia geométrica (sem resolver ainda).
  • Seja x(t) a distância do homem até a base do poste, em metros.
  • Seja s(t) o comprimento da sombra do homem, em metros.
  • Geometricamente temos dois triângulos semelhantes: o triângulo formado pela lâmpada e o chão até a ponta da sombra (altura 5, base x+s) e o triângulo formado pelo homem e sua sombra (altura 1,70, base s).
  • Triângulos semelhantes significam que as razões das alturas são iguais às razões das bases correspondentes. Isso nos fornece uma relação algébrica entre x e s.

Passo 3

Montar a equação usando semelhança de triângulos e manipulação algébrica.
  • Pela semelhança: \frac{5}{x+s}=\frac{1,70}{s}.
  • Multiplicando em cruz: 5s = 1,70(x+s).
  • Desenvolvendo o lado direito: 5s = 1,70x + 1,70s.
  • Isolando os termos com s: 5s - 1,70s = 1,70x.
  • Calculando a diferença numérica ( 5-1,70=3,30): 3,30\,s = 1,70x.
  • Portanto, expressando s em função de x: s = \frac{1,70}{3,30}\,x.
  • Simplificando multiplicando numerador e denominador por 10: s = \frac{17}{33}\,x.

Passo 4

Explicar e aplicar diferenciação em relação ao tempo (taxas relacionadas).
  • Como s e x variam com o tempo, diferenciamos a relação encontrada em relação a t.
  • Regra usada: derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, se s = C x então \dfrac{ds}{dt}=C\,\dfrac{dx}{dt}.
  • Diferenciando \,s=\dfrac{17}{33}x em relação a t: \frac{ds}{dt}=\frac{17}{33}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 5

Substituir o valor da velocidade do homem e calcular \dfrac{ds}{dt}.
  • Foi dado que \dfrac{dx}{dt}=1,2\\ \mathrm{m/s}. Para evitar mistura de decimais, escrevo 1,2=\dfrac{6}{5}.
  • Substituindo: \frac{ds}{dt}=\frac{17}{33}\cdot\frac{6}{5}.
  • Fazer o produto e simplificar: \frac{ds}{dt}=\frac{102}{165}.
  • Dividindo numerador e denominador por 3: \frac{ds}{dt}=\frac{34}{55}\\ \mathrm{m/s}.
  • Em valor decimal aproximado: \frac{ds}{dt}\approx0,618\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação rápida: sinal positivo significa que o comprimento da sombra está aumentando, como era de esperar já que o homem se afasta do poste.

Resposta

\dfrac{34}{55}\\ \mathrm{m/s}\approx0,618\\ \mathrm{m/s}

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