GUIDORIZZI Uma piscina retangular possui 5 metros de largura, 10 metros de comprimento e o seu fundo é um plano inclinado (rampa): a profundidade varia linearmente de \mathbf{1} metro na extremidade rasa até 3 metros na extremidade mais funda. A piscina está sendo preenchida com água a uma taxa de 1,5 \mathbf{m}^{3} / min. Quão rápido o nível da água estará subindo no instante em que a profundidade máxima da água for de 1,2 metros?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma taxa:
  • Dimensões da piscina:
    • largura =5\\ \text{m},
    • comprimento =10\\ \text{m}.
  • O fundo é um plano inclinado: a profundidade (do topo até o fundo) varia linearmente de 1\\ \text{m} na extremidade rasa até 3\\ \text{m} na extremidade funda.
  • A piscina está sendo preenchida com água a uma taxa \frac{dV}{dt}=1{,}5\\ \text{m}^3/\text{min}.
  • Pergunta: quão rápido o nível da água está subindo no instante em que a profundidade máxima da água for 1{,}2\\ \text{m}.
    Observação: “profundidade máxima da água” significa a profundidade medida no ponto mais profundo (extremidade funda); vamos chamar essa profundidade de h(t) e queremos \dfrac{dh}{dt} no instante em que h=1{,}2\\ \text{m}.

Passo 2

Escolher variáveis e modelar a geometria (passo crucial, eu explico devagar porque é fácil se perder):
  • Seja x a coordenada ao longo do comprimento da piscina, com x=0 na extremidade rasa e x=10 na extremidade funda.
  • A profundidade do fundo (distância do topo até o fundo) em função de x é linear entre 1 e 3. A inclinação é \dfrac{3-1}{10}=0{,}2. Logo: b(x)=1+0{,}2x\quad\text{(profundidade do fundo em }x\text{)}.
  • Seja h(t) a profundidade da água na extremidade funda (no x=10). A superfície da água é plana (horizontal), então em um ponto x a profundidade de água local (altura da coluna de água sobre o fundo) é \text{profundidade local} = b(x)-z_w,onde z_w é a cota vertical da superfície. Em particular, no fundo mais profundo ( x=10) vale b(10)-z_w=h, assim z_w=b(10)-h=3-h. Substituindo, a profundidade de água em x é \text{profundidade em }x=\bigl(1+0{,}2x\bigr)-(3-h)=0{,}2x+(h-2).
  • Água existe apenas onde essa profundidade local for positiva. O ponto x_0 onde a profundidade zera satisfaz 0=0{,}2x_0+(h-2)\quad\Rightarrow\quad x_0=10-5h.Isso significa que, para um dado h, a água ocupa o comprimento de x=x_0 até x=10. (Se x_0<0 a água cobre toda a piscina; se x_0>10 não há água, casos limites.)

Passo 3

Expressar o volume de água V em função de h usando integração (aqui eu mostro passo a passo como montar a integral):
  • Em uma fatia fina de comprimento dx em x, a área da seção transversal (largura 5 multiplicada pela profundidade local) é dA = 5\cdot\bigl(0{,}2x+(h-2)\bigr).
  • O volume dessa fatia é dV = dA\\ dx. Integrando ao longo de x de x_0 até 10 obtemos o volume total: V(h)=\int_{x_0}^{10} 5\bigl(0{,}2x+(h-2)\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral explicitamente e simplificar para obter V em função de h:
  • Primeiro escrevendo a integral: V(h)=5\int_{x_0}^{10}\bigl(0{,}2x+(h-2)\bigr)\,dx.
  • Integrando termo a termo (mostrando a antiderivada): \int\bigl(0{,}2x+(h-2)\bigr)\,dx=0{,}1x^2+(h-2)x.
  • Avaliando de x=x_0 até x=10: V(h)=5\Bigl[\bigl(0{,}1\cdot 10^2+(h-2)\cdot 10\bigr)-\bigl(0{,}1x_0^2+(h-2)x_0\bigr)\Bigr].
  • Substituir x_0=10-5h. Calcular passo a passo: 0{,}1\cdot 10^2+(h-2)\cdot 10 =10+10h-20=10h-10.
x_0^2=(10-5h)^2=100-100h+25h^2,
0{,}1x_0^2=10-10h+2{,}5h^2,
(h-2)x_0=(h-2)(10-5h)=20h-20-5h^2.
Somando:
0{,}1x_0^2+(h-2)x_0 = (10-10h+2{,}5h^2)+(20h-20-5h^2)=-10+10h-2{,}5h^2.
  • Agora a diferença: \bigl(10h-10\bigr)-\bigl(-10+10h-2{,}5h^2\bigr)=2{,}5h^2.
  • Multiplicando pelo fator 5: V(h)=5\cdot 2{,}5h^2=12{,}5\,h^2.
  • Ou seja, de forma elegante: V(h)=12{,}5\,h^2\quad\text{(em m}^3\text{, para }0\le h\le 2\text{, faixa onde água não cobre totalmente a piscina)}.áã
(Dica: deu uma expressão quadrática simples — isso facilita muito os passos seguintes.)

Passo 5

Relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo (regra da cadeia) e resolver para \dfrac{dh}{dt}:
  • Diferenciando V(h(t))=12{,}5\,h(t)^2 em relação ao tempo t: \frac{dV}{dt}=12{,}5\cdot 2 h\frac{dh}{dt}=25\,h\frac{dh}{dt}.Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de h^2 é 2h e multiplica \dfrac{dh}{dt}.
  • Isolar \dfrac{dh}{dt}: \frac{dh}{dt}=\frac{1}{25h}\frac{dV}{dt}.

Passo 6

Calcular numericame nte \dfrac{dh}{dt} no instante dado h=1{,}2\\ \text{m}, usando \dfrac{dV}{dt}=1{,}5\\ \text{m}^3/\text{min}:
  • Substituindo: \frac{dh}{dt}=\frac{1}{25\cdot 1{,}2}\cdot 1{,}5=\frac{1{,}5}{30}=0{,}05\\ \text{m}/\text{min}.
  • Interpretação: a superfície da água está subindo a 0{,}05\\ \text{m}/\text{min}, ou seja, 5\\ \text{cm}/\text{min}. (Isso é uma taxa bem razoável — não se assuste.)

Resposta

\displaystyle 0{,}05\\ \text{m/min}

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