GUIDORIZZI Uma piscina retangular possui 5 metros de largura, 10 metros de comprimento e o seu fundo é um plano inclinado (rampa): a profundidade varia linearmente de
metro na extremidade rasa até 3 metros na extremidade mais funda. A piscina está sendo preenchida com água a uma taxa de
/ min. Quão rápido o nível da água estará subindo no instante em que a profundidade máxima da água for de 1,2 metros?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma taxa:
- Dimensões da piscina:
- largura
, - comprimento
.
- largura
- O fundo é um plano inclinado: a profundidade (do topo até o fundo) varia linearmente de
na extremidade rasa até na extremidade funda. - A piscina está sendo preenchida com água a uma taxa
- Pergunta: quão rápido o nível da água está subindo no instante em que a profundidade máxima da água for
.
Observação: “profundidade máxima da água” significa a profundidade medida no ponto mais profundo (extremidade funda); vamos chamar essa profundidade dee queremos no instante em que .
Passo 2
Escolher variáveis e modelar a geometria (passo crucial, eu explico devagar porque é fácil se perder):
- Seja
a coordenada ao longo do comprimento da piscina, com na extremidade rasa e na extremidade funda. - A profundidade do fundo (distância do topo até o fundo) em função de
é linear entre e . A inclinação é . Logo: - Seja
a profundidade da água na extremidade funda (no ). A superfície da água é plana (horizontal), então em um ponto a profundidade de água local (altura da coluna de água sobre o fundo) é onde é a cota vertical da superfície. Em particular, no fundo mais profundo ( ) vale , assim . Substituindo, a profundidade de água em é - Água existe apenas onde essa profundidade local for positiva. O ponto
onde a profundidade zera satisfaz Isso significa que, para um dado , a água ocupa o comprimento de até . (Se a água cobre toda a piscina; se não há água, casos limites.)
Passo 3
Expressar o volume de água
em função de
usando integração (aqui eu mostro passo a passo como montar a integral):
- Em uma fatia fina de comprimento
em , a área da seção transversal (largura multiplicada pela profundidade local) é - O volume dessa fatia é
. Integrando ao longo de de até obtemos o volume total:
Passo 4
Calcular a integral explicitamente e simplificar para obter
em função de
:
- Primeiro escrevendo a integral:
- Integrando termo a termo (mostrando a antiderivada):
- Avaliando de
até : - Substituir
. Calcular passo a passo:
Somando:
- Agora a diferença:
- Multiplicando pelo fator
: - Ou seja, de forma elegante:
(Dica: deu uma expressão quadrática simples — isso facilita muito os passos seguintes.)
Passo 5
Relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo (regra da cadeia) e resolver para
:
- Diferenciando
em relação ao tempo : Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de é e multiplica . - Isolar
:
Passo 6
Calcular numericame nte
no instante dado
, usando
:
- Substituindo:
- Interpretação: a superfície da água está subindo a
, ou seja, . (Isso é uma taxa bem razoável — não se assuste.)