GUIDORIZZI Duas resistências elétricas variáveis, \boldsymbol{R}_{1} e \boldsymbol{R}_{2}, estão ligadas eletricamente em um arranjo em paralelo. A resistência equivalente combinada do circuito, denotada por \boldsymbol{R}, satisfaz à relação matemática \mathbf{1} / \boldsymbol{R}=\mathbf{1} / \boldsymbol{R}_{\mathbf{1}}+\mathbf{1} / \boldsymbol{R}_{\mathbf{2}}. Sabendo que, em um certo momento, \boldsymbol{R}_{\mathbf{1}} está crescendo a uma taxa de \mathbf{0 , 5} \boldsymbol{\Omega} / \mathbf{s} e \boldsymbol{R}_{\mathbf{2}} cresce a uma taxa de \mathbf{1 , 2} \boldsymbol{\Omega} / \mathrm{s}, calcule a taxa de variação de \boldsymbol{R} quando \boldsymbol{R}_{\mathbf{1}}=\mathbf{8 0} \boldsymbol{\Omega} e \boldsymbol{R}_{\mathbf{2}}= 120 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre as resistências em paralelo:
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}.
As informações numéricas fornecidas (peguei estes valores do enunciado) são:
  • \dfrac{dR_{1}}{dt}=0,5\\ \Omega/\mathrm{s},
  • \dfrac{dR_{2}}{dt}=1,2\\ \Omega/\mathrm{s},
  • R_{1}=80\\ \Omega,
  • R_{2}=120\\ \Omega.
O que o problema pede: calcular \dfrac{dR}{dt} no instante em que R_{1} e R_{2} têm os valores dados.

Passo 2

Vamos relacionar as taxas diferenciando implicitamente a igualdade \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}} em relação ao tempo t. Antes disso, lembrinha rápida (aula curta): se uma função depende do tempo, por exemplo y(t)=\dfrac{1}{u(t)}, a regra da cadeia dá
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left(u^{-1}\right)=-u^{-2}\frac{du}{dt}=-\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{dt}.
Isto é, ao derivar 1/coisa, aparece um sinal negativo e o quadrado da coisa no denominador, multiplicado pela derivada da coisa.

Passo 3

Aplicando a regra acima a cada termo da igualdade, derivando ambos os lados em relação a t, obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R_{1}}\right)+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{R_{2}}\right).
Usando a fórmula do passo anterior isso vira
-\frac{1}{R^{2}}\frac{dR}{dt}=-\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{dR_{1}}{dt}-\frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{dR_{2}}{dt}.

Passo 4

Multiplicando a igualdade por -1 e isolando \dfrac{dR}{dt}, fica
\frac{1}{R^{2}}\frac{dR}{dt}=\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{dR_{1}}{dt}+\frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{dR_{2}}{dt},
portanto
\frac{dR}{dt}=R^{2}\!\left(\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{dR_{1}}{dt}+\frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{dR_{2}}{dt}\right).
Esta é a fórmula que vamos usar: primeiro calculamos R a partir de R_{1} e R_{2}, depois substituímos todos os valores.

Passo 5

Calcular R quando R_{1}=80\\ \Omega e R_{2}=120\\ \Omega. Usando a relação inicial:
\frac{1}{R}=\frac{1}{80}+\frac{1}{120}.
Fazendo a soma com denominador comum 240:
\frac{1}{R}=\frac{3}{240}+\frac{2}{240}=\frac{5}{240}=\frac{1}{48}.
Logo
R=48\\ \Omega.

Passo 6

Calcular os termos dentro dos parênteses:
\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{dR_{1}}{dt}=\frac{1}{80^{2}}\cdot 0,5=\frac{0,5}{6400}=\frac{1}{12800},
\frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{dR_{2}}{dt}=\frac{1}{120^{2}}\cdot 1,2=\frac{1,2}{14400}=\frac{1}{12000}.
Somando-os:
\frac{1}{12800}+\frac{1}{12000}=\frac{31}{192000}.
(Para verificar: \dfrac{1}{12800}=\dfrac{30}{384000} e \dfrac{1}{12000}=\dfrac{32}{384000}, soma \dfrac{62}{384000}=\dfrac{31}{192000}.)

Passo 7

Agora multiplicamos por R^{2}. Como R=48\\ \Omega, temos R^{2}=48^{2}=2304. Portanto
\frac{dR}{dt}=2304\cdot\frac{31}{192000}.
Simplificando 2304/192000=\dfrac{3}{250}, obtemos
\frac{dR}{dt}=\frac{3}{250}\cdot 31=\frac{93}{250}.
Como número decimal,
\frac{93}{250}=0,372.

Passo 8

Interpretação rápida (para te dar ânimo): o valor é positivo, então a resistência equivalente R está aumentando naquele instante — faz sentido, já que ambas as resistências individuais estão aumentando.

Resposta

\dfrac{93}{250}\\ \Omega/\mathrm{s} \;=\;0,372\\ \Omega/\mathrm{s}

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