H. 163 Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arccos} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{3}\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de função composta usando a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{arccos}(u).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{3},
de modo que
f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr]=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u(x))\bigr] =-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^{2}}} =-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-(x^{3})^{2}}} =-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}.

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