1. Se h(x)=[f(x)]^{3}+f\left(x^{3}\right), calcule h^{\prime}(2), sabendo que f(2)=1, f^{\prime}(2)=7 e que f^{\prime}(8)=-3.

Passo 1

O enunciado define
h(x) = [f(x)]^{3} + f\bigl(x^{3}\bigr)
e pede h'(2). Vamos usar as regras de derivação de soma, potência e cadeia, sabendo que f(2)=1, f'(2)=7 e f'(8)=-3.

Passo 2

Derivando o primeiro termo [f(x)]^{3} pela regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl([f(x)]^{3}\bigr) =3\,[f(x)]^{2}\,\frac{d}{dx}f(x) =3\,[f(x)]^{2}\,f'(x).

Passo 3

Derivando o segundo termo f\bigl(x^{3}\bigr) pela regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}f\bigl(x^{3}\bigr) =f'\bigl(x^{3}\bigr)\,\frac{d}{dx}(x^{3}) =3x^{2}\,f'\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 4

Somando as duas partes,
h'(x)=3\,[f(x)]^{2}\,f'(x)+3x^{2}\,f'\bigl(x^{3}\bigr).
Para x=2, usamos f(2)=1, f'(2)=7 e f'(8)=-3:
h'(2)=3\cdot(1)^{2}\cdot7+3\cdot2^{2}\cdot(-3) =21+3\cdot4\cdot(-3) =21-36 =-15.

Resposta

-15

Exercícios relacionados