1. Suponha que f seja uma função derivável em seu domínio D e que, para todo x em D, satisfaça x f(x)+\operatorname{sen}[f(x)]=4. Se x+\cos [f(x)] \neq 0, mostre que f^{\prime}(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos [f(x)]}.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,f(x)+\sin\bigl(f(x)\bigr)=4
para todo x em D, e quer f'(x). O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando regras do produto e da cadeia, e o fato de x+\cos\bigl(f(x)\bigr)\neq0 permitirá isolar f'(x).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl[x\,f(x)\bigr]+\frac{d}{dx}\bigl[\sin\bigl(f(x)\bigr)\bigr] =\frac{d}{dx}[4]=0.

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x\,f(x) e a regra da cadeia em \sin(f(x)), obtém-se
f(x)+x\,f'(x)+\cos\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x)=0.

Passo 4

Agrupando os termos com f'(x),
f(x)+f'(x)\bigl[x+\cos\bigl(f(x)\bigr)\bigr]=0
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f'(x)\bigl[x+\cos\bigl(f(x)\bigr)\bigr]=-\,f(x).

Passo 5

Como x+\cos\bigl(f(x)\bigr)\neq0, divide-se para isolar f'(x):
f'(x)=\frac{-\,f(x)}{x+\cos\bigl(f(x)\bigr)}.

Resposta

f'(x)=\frac{-f(x)}{x+\cos\bigl(f(x)\bigr)}.

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