Hallar las derivadas parciales de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que basicamente nos diz para primeiro derivar a função externa e depois multiplicar pela derivada da função interna.
A derivada de
em relação a
é
. Então, a gente tem:
Agora, derivamos
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, e como
, a derivada de
em relação a
é 1.
Então:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos o mesmo processo da regra da cadeia:
Derivando
em relação a
, temos:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função são: