Hallar las derivadas parciales segundas de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas em relação a
e
e depois aplicar isso novamente para achar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, que a gente denota por
. Para fazer isso, tratamos
como uma constante.
A função é
. Então, derivando em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, fica:
Agora, usamos a regra do produto para derivar
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para achar a segunda derivada parcial
.
Novamente, aplicamos a regra do produto:
Derivando
:
Somando as duas derivadas:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a
, denotada por
.
Primeiro, achamos a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular as derivadas mistas
e
. Na teoria, sabemos que para funções suficientemente suaves,
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então, as derivadas parciais de segunda ordem são:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: