Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = e^(-x) * cos(x) * sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas em relação a e e depois aplicar isso novamente para achar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , que a gente denota por . Para fazer isso, tratamos como uma constante.
A função é . Então, derivando em relação a :
Como é uma constante em relação a , fica:
Agora, usamos a regra do produto para derivar :
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a novamente para achar a segunda derivada parcial .
Novamente, aplicamos a regra do produto:
Derivando :
Somando as duas derivadas:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a , denotada por .
Primeiro, achamos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular as derivadas mistas e . Na teoria, sabemos que para funções suficientemente suaves, .
Primeiro, derivamos em relação a :
Então, as derivadas parciais de segunda ordem são:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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