En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = log(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e a tarefa é verificar se as derivadas parciais mistas dessa função são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a e em diferentes ordens e ver se dá o mesmo resultado. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante e derivar apenas em relação a .
A função é .
A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar a derivada mista .
Temos .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a para encontrar :

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

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