En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e a tarefa é verificar se as derivadas parciais mistas dessa função são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a
e
em diferentes ordens e ver se dá o mesmo resultado. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante e derivar apenas em relação a
.
A função é
.
A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar a derivada mista
.
Temos
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais: