Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^2 + y^3 - 3xy - 5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos estacionários da função e classificá-los. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para achar esses pontos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
A derivada parcial em relação a é obtida tratando como uma constante:
Já a derivada parcial em relação a trata como constante:

Passo 3

Para encontrar os pontos estacionários, precisamos igualar essas derivadas a zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções para são:
Agora, encontramos os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos estacionários são e .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos das derivadas segundas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto.
Para o ponto :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos estacionários da função são:
  1. — mínimo local
  2. — ponto de sela

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