Justifique que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
f(x, y)= (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos que não são e outra especificamente para o ponto . O exercício pede para a gente mostrar que essa função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar isso para todos os pontos, especialmente para o ponto , que é onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se ela puder ser aproximada linearmente por essas derivadas perto desse ponto. Em outras palavras, perto desse ponto, a função se comporta como uma função linear.

Passo 3

Vamos verificar a diferenciabilidade de em todos os pontos . Nesses pontos, . Aqui, a função é composta por polinômios e funções trigonométricas que são todas diferenciáveis quando . Portanto, é diferenciável em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, vamos analisar a diferenciabilidade em fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k em fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1|h|)h = limh to 0 h sin(1|h|) = 0 e verificar se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
fy(0,0) = limk to 0 k^2 sin(1|k|)k = limk to 0 k sin(1|k|) = 0
Como , temos:
Então, as derivadas parciais em existem e são iguais a 0.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a função pode ser aproximada linearmente por essas derivadas. Isso significa que devemos mostrar que:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Substituindo os valores que já conhecemos:
lim(h,k) to (0,0) (h^2 + k^2) sin(1raizh^2 + k^2)raizh^2 + k^2 = limr to 0 r sin(1r)
Usando coordenadas polares, onde limr to 0 r sin(1r) = 0 , temos:
Isso mostra que a aproximação linear é válida, ou seja, a função é diferenciável em .

Resposta

Portanto, é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

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