Justifique que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos
que não são
e outra especificamente para o ponto
. O exercício pede para a gente mostrar que essa função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar isso para todos os pontos, especialmente para o ponto
, que é onde a definição muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se ela puder ser aproximada linearmente por essas derivadas perto desse ponto. Em outras palavras, perto desse ponto, a função se comporta como uma função linear.
Passo 3
Vamos verificar a diferenciabilidade de
em todos os pontos
. Nesses pontos,
. Aqui, a função é composta por polinômios e funções trigonométricas que são todas diferenciáveis quando
. Portanto,
é diferenciável em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, vamos analisar a diferenciabilidade em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em
e verificar se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Como
, temos:
Então, as derivadas parciais em
existem e são iguais a 0.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a função pode ser aproximada linearmente por essas derivadas. Isso significa que devemos mostrar que:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Usando coordenadas polares, onde
, temos:
Isso mostra que a aproximação linear é válida, ou seja, a função é diferenciável em
.
Resposta
Portanto,
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.