O conjunto consiste em duas hastes AB e CD de liga de cobre C83400 de latão vermelho com diâmetro de 30 mm , uma haste de liga de aço inoxidável 304 EF de diâmetro 40 mm e uma tampa rígida G. Determine a tensão normal média desenvolvida nas hastes \mathrm{AB}, \mathrm{CD} e EF , se os suportes em A, C e F forem rígidos

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados da figura enviada):
  • Hastes AB e CD: diâmetro d_{AB}=d_{CD}=30\\ \text{mm} e comprimento até a placa L_{AB}=L_{CD}=300\\ \text{mm} (peguei os 30\\ \text{mm} e os 300\\ \text{mm} da imagem).
  • Haste EF: diâmetro d_{EF}=40\\ \text{mm} e comprimento L_{EF}=450\\ \text{mm} (peguei os 40\\ \text{mm} e o 450\\ \text{mm} da imagem).
  • Materiais: AB e CD em liga de cobre/latão C83400 (usarei E_{brass}=100\\ \text{GPa}), e EF em aço inoxidável 304 (usarei E_{steel}=200\\ \text{GPa}). Esses valores de módulo de elasticidade são os usuais adotados em problemas; vou explicitar isso no passo da teoria.
  • Forças externas: dois esforços horizontais de 40\\ \text{kN} cada aplicados à placa G, ambos dirigidos para a esquerda (peguei esses 40\\ \text{kN} da imagem). Portanto a carga total horizontal aplicada à placa é P_{tot}=2\cdot40\\ \text{kN}=80\\ \text{kN}.
  • Os suportes em A, C e F são rígidos e a placa G é rígida.
O que se pede:
  • Determinar a tensão normal média desenvolvida nas hastes AB, CD e EF (ou seja, o esforço axial médio \sigma=P/A em cada haste), indicando também se são tração ou compressão.
Observação importante sobre a simetria e simplificação que vou usar (justificativa física que evita considerações de rotação complicada):
  • As duas forças de 40\\ \text{kN} são iguais e aplicadas em posições simétricas superiores e inferiores da placa (como mostra a figura). Portanto o momento resultante produzido por essas duas forças em relação ao centro da placa se anula e a placa não tende a girar; ela só se desloca horizontalmente. Com isso, todos os pontos de fixação da placa têm o mesmo deslocamento horizontal e o sistema pode ser tratado como três molas axiais em paralelo (cada haste é uma “mola” axial) que suportam a carga total. Essa hipótese de deslocamento puramente de translação é a chave para distribuir a carga proporcionalmente às rigidezes axiais das hastes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e concreta):
  • Deformação axial e rigidez axial: para uma haste circular submetida a força axial P, o alongamento (ou encurtamento) \delta é, na elasticidade linear,
\delta=\frac{P L}{A E},
onde L é o comprimento da haste, A é a área da secção transversal e E o módulo de Young do material.
  • Podemos inverter essa relação e definir a rigidez axial da haste (análoga a constante de mola):
k=\frac{A E}{L},
de modo que
P=k\,\delta.
  • Se várias hastes idênticas (ou não) ligam uma placa rígida a apoios e a placa movimenta-se horizontalmente sem rotação, então todas as hastes têm o mesmo deslocamento \delta. As forças em cada haste são então proporcionais às suas rigidezes:
P_i=k_i\,\delta.
Somando para todas as hastes,
P_{tot}=\sum_i P_i = \left(\sum_i k_i\right)\delta = K\,\delta,
onde K=\sum_i k_i é a rigidez equivalente. Portanto a força em cada haste é
P_i=\frac{k_i}{K}\,P_{tot}.
  • Finalmente, a tensão normal média na haste i é
\sigma_i=\frac{P_i}{A_i}.
Vou aplicar exatamente esse procedimento: calcular A_i, calcular k_i, somar para obter K, dividir para obter P_i e então \sigma_i.

Passo 3

Cálculo das áreas das seções circulares (fórmula e números; toda matemática em TeX):
  • Área de uma seção circular A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Para AB e CD ( d=30\\ \text{mm}):
A_{AB}=A_{CD}=\frac{\pi (30)^2}{4}=225\pi\\ \text{mm}^2\approx 706{,}858\\ \text{mm}^2.
  • Para EF ( d=40\\ \text{mm}):
A_{EF}=\frac{\pi (40)^2}{4}=400\pi\\ \text{mm}^2\approx 1256{,}637\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Escolha dos módulos de elasticidade e cálculo das rigidezes axiais k_i=\dfrac{A_i E_i}{L_i}.
  • Valores adotados (valores usuais):
    • E_{brass}=100\\ \text{GPa}=100\,000\\ \text{N/mm}^2 para as hastes AB e CD.
    • E_{steel}=200\\ \text{GPa}=200\,000\\ \text{N/mm}^2 para a haste EF.
  • Comprimentos: L_{AB}=L_{CD}=300\\ \text{mm}, L_{EF}=450\\ \text{mm} (peguei estes comprimentos da imagem).
  • Agora as rigidezes:
k_{AB}=k_{CD}=\frac{A_{AB}E_{brass}}{L_{AB}} =\frac{225\pi\cdot100\,000}{300} \approx 235\,619{,}45\\ \text{N/mm}.
k_{EF}=\frac{A_{EF}E_{steel}}{L_{EF}} =\frac{400\pi\cdot200\,000}{450} \approx 558\,505{,}36\\ \text{N/mm}.

Passo 5

Distribuição da carga total entre as hastes (método direto usando rigidezes em paralelo).
  • Carga total aplicada (duas setas de 40\\ \text{kN}):
P_{tot}=2\cdot40\\ \text{kN}=80\\ \text{kN}=80\,000\\ \text{N}.
  • Rigidez equivalente
K = k_{AB}+k_{CD}+k_{EF}=2\cdot235\,619{,}45+558\,505{,}36 \approx 1\,029\,744{,}26\\ \text{N/mm}.
  • Força em cada haste:
P_{AB}=P_{CD}=\frac{k_{AB}}{K}\,P_{tot} \approx\frac{235\,619{,}45}{1\,029\,744{,}26}\cdot80\,000 \approx 18\,307{,}96\\ \text{N}\approx 18{,}308\\ \text{N}.
P_{EF}=\frac{k_{EF}}{K}\,P_{tot} \approx\frac{558\,505{,}36}{1\,029\,744{,}26}\cdot80\,000 \approx 43\,384{,}08\\ \text{N}\approx 43{,}384\\ \text{N}.
(Confirme que 2\cdot18\,307{,}96+43\,384{,}08\approx80\,000\\ \text{N}.)
Interpretação do sinal (tração/compressão):
  • As forças calculadas representam a direção dos esforços necessários para equilibrar as duas forças externas para a esquerda. Para equilibrar uma resultante total para a esquerda, as hastes devem exercer sobre a placa uma resultante para a direita. Isso implica que:
    • As hastes à esquerda ( AB e CD) estão comprimidas (elas empurram a placa para a direita).
    • A haste à direita ( EF) está em tração (puxa a placa para a direita).
      Vou indicar isso na resposta final.

Passo 6

Cálculo das tensões médias \sigma_i=P_i/A_i e apresentação final (unidade \text{N/mm}^2=\text{MPa}).
  • Para AB e CD:
\sigma_{AB}=\sigma_{CD}=\frac{P_{AB}}{A_{AB}} =\frac{18\,307{,}96}{706{,}858} \approx 25{,}90\\ \text{N/mm}^2 = 25{,}90\\ \text{MPa}.
Arredondando uma casa decimal: \sigma_{AB}=\sigma_{CD}\approx 25{,}9\\ \text{MPa} (compressão).
  • Para EF:
\sigma_{EF}=\frac{P_{EF}}{A_{EF}} =\frac{43\,384{,}08}{1\,256{,}637} \approx 34{,}53\\ \text{N/mm}^2 = 34{,}53\\ \text{MPa}.
Arredondando uma casa decimal: \sigma_{EF}\approx 34{,}5\\ \text{MPa} (tração).

Resposta

\sigma_{AB}=\sigma_{CD}=25{,}9\\ \text{MPa} (compressão)
\sigma_{EF}=34{,}5\\ \text{MPa} (tração)

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