O conjunto consiste em duas hastes AB e CD de liga de cobre C83400 de latão vermelho com diâmetro de 30 mm , uma haste de liga de aço inoxidável 304 EF de diâmetro 40 mm e uma tampa rígida G. Determine a tensão normal média desenvolvida nas hastes
e EF , se os suportes em A, C e F forem rígidos
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados da figura enviada):
- Hastes
e : diâmetro e comprimento até a placa (peguei os e os da imagem). - Haste
: diâmetro e comprimento (peguei os e o da imagem). - Materiais:
e em liga de cobre/latão C83400 (usarei ), e em aço inoxidável 304 (usarei ). Esses valores de módulo de elasticidade são os usuais adotados em problemas; vou explicitar isso no passo da teoria. - Forças externas: dois esforços horizontais de
cada aplicados à placa , ambos dirigidos para a esquerda (peguei esses da imagem). Portanto a carga total horizontal aplicada à placa é . - Os suportes em
, e são rígidos e a placa é rígida.
O que se pede:
- Determinar a tensão normal média desenvolvida nas hastes
, e (ou seja, o esforço axial médio em cada haste), indicando também se são tração ou compressão.
Observação importante sobre a simetria e simplificação que vou usar (justificativa física que evita considerações de rotação complicada):
- As duas forças de
são iguais e aplicadas em posições simétricas superiores e inferiores da placa (como mostra a figura). Portanto o momento resultante produzido por essas duas forças em relação ao centro da placa se anula e a placa não tende a girar; ela só se desloca horizontalmente. Com isso, todos os pontos de fixação da placa têm o mesmo deslocamento horizontal e o sistema pode ser tratado como três molas axiais em paralelo (cada haste é uma “mola” axial) que suportam a carga total. Essa hipótese de deslocamento puramente de translação é a chave para distribuir a carga proporcionalmente às rigidezes axiais das hastes.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e concreta):
- Deformação axial e rigidez axial: para uma haste circular submetida a força axial
, o alongamento (ou encurtamento) é, na elasticidade linear,
onde
é o comprimento da haste,
é a área da secção transversal e
o módulo de Young do material.
- Podemos inverter essa relação e definir a rigidez axial da haste (análoga a constante de mola):
de modo que
- Se várias hastes idênticas (ou não) ligam uma placa rígida a apoios e a placa movimenta-se horizontalmente sem rotação, então todas as hastes têm o mesmo deslocamento
. As forças em cada haste são então proporcionais às suas rigidezes:
Somando para todas as hastes,
onde
é a rigidez equivalente. Portanto a força em cada haste é
- Finalmente, a tensão normal média na haste
é
Vou aplicar exatamente esse procedimento: calcular
, calcular
, somar para obter
, dividir para obter
e então
.
Passo 3
Cálculo das áreas das seções circulares (fórmula e números; toda matemática em TeX):
- Área de uma seção circular
. - Para
e ( ):
- Para
( ):
Passo 4
Escolha dos módulos de elasticidade e cálculo das rigidezes axiais
.
- Valores adotados (valores usuais):
-
para as hastes e . -
para a haste .
-
- Comprimentos:
, (peguei estes comprimentos da imagem). - Agora as rigidezes:
Passo 5
Distribuição da carga total entre as hastes (método direto usando rigidezes em paralelo).
- Carga total aplicada (duas setas de
):
- Rigidez equivalente
- Força em cada haste:
(Confirme que
.)
Interpretação do sinal (tração/compressão):
- As forças calculadas representam a direção dos esforços necessários para equilibrar as duas forças externas para a esquerda. Para equilibrar uma resultante total para a esquerda, as hastes devem exercer sobre a placa uma resultante para a direita. Isso implica que:
- As hastes à esquerda (
e ) estão comprimidas (elas empurram a placa para a direita). - A haste à direita (
) está em tração (puxa a placa para a direita).
Vou indicar isso na resposta final.
- As hastes à esquerda (
Passo 6
Cálculo das tensões médias
e apresentação final (unidade
).
- Para
e :
Arredondando uma casa decimal:
(compressão).
- Para
:
Arredondando uma casa decimal:
(tração).