- Uma haste curta de seção quadrada de 10 mm de aresta feita de aço de baixo carbono projeta-se no ar a
de uma parede de forno a
e a outra extremidade é adiabática.
O coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado em
. A condutividade do material é de
. Determine o local a partir da parede em que a temperatura será de
. Calcule também a temperatura a 30 mm da base.
(20 PONTOS)
O coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado em
(20 PONTOS)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma haste de aço com seção quadrada de 10 mm de lado que se projeta para o ar a 35°C de uma parede de forno que está a 200°C. A outra extremidade da haste não troca calor com o ambiente (adiabática). Queremos descobrir onde, a partir da parede, a temperatura da haste será de 100°C e também calcular a temperatura que está a 30 mm da base da haste. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se transfere por condução na haste e por convecção da superfície para o ar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de transferência de calor por condução pela haste. A condutividade térmica (k) do aço de baixo carbono é de 50 W/m·K. Como a haste tem uma seção quadrada de 10 mm de lado, vamos converter para metros: 10 mm = 0,01 m. A área da seção transversal (A) é:
Passo 3
Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção da superfície da haste para o ar. O coeficiente de transferência de calor por convecção (h) é 22 W/m²·K. A haste tem duas faces laterais (já que uma extremidade está na parede e a outra é adiabática). Cada face lateral tem comprimento L = 130 mm = 0,13 m e largura de 10 mm = 0,01 m. A área total de convecção § é:
Passo 4
Para encontrar a posição onde a temperatura é 100°C, vamos usar a equação de transferência de calor em regime estacionário com condição de convecção na superfície:
Onde:
-
é a temperatura na posição x -
é a temperatura do ar (35°C)
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
Onde
é a temperatura na parede (200°C).
Passo 5
Primeiro, calculamos o parâmetro
:
Passo 6
Agora, temos a expressão da temperatura ao longo da haste:
Queremos encontrar x onde
:
Subtraindo 35 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 165:
Passo 7
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para x:
Calculando o ln de 0,3939:
Dividindo ambos os lados por -11,44:
Passo 8
Agora, vamos calcular a temperatura a 30 mm da base da haste. Já temos a expressão geral:
Substituindo x = 30 mm = 0,03 m:
Calculando o expoente:
Calculando
:
Então:
Resposta
A temperatura de 100°C ocorre a aproximadamente 81 mm a partir da parede. A temperatura a 30 mm da base da haste é de cerca de 152°C.