1. Uma haste delgada é submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal de \varepsilon_{z}=40 \cdot 10^{-3} \cdot z^{\frac{1}{2}}, sendo \mathbf{z} dado em metros. Determine:
    a) O deslocamento da extremidade B da haste.
    b) A deformação normal média na haste.

Passo 1

O enunciado dá a deformação normal ao longo da haste como \varepsilon_{z}=40\cdot10^{-3}\cdot z^{1/2}, com z em metros. A haste tem comprimento mostrado na figura igual a 200\\ \text{mm}; peguei esse dado da imagem, portanto
L = 200\\ \text{mm} = 0,200\\ \text{m}.
O que pedem:
a) o deslocamento da extremidade B da haste (ou seja, u_B relativo à extremidade A);\n
b) a deformação normal média na haste (ou seja, \overline{\varepsilon} ao longo de 0\le z\le L).

Passo 2

Conceito chave — relação entre deformação axial e deslocamento: a deformação normal uniaxial \varepsilon_{z}(z) é a derivada do deslocamento axial u(z) em relação a z,
\varepsilon_{z}(z)=\frac{du}{dz}.
Explicando devagar: \varepsilon_{z} é “quanto estica por unidade de comprimento” em cada ponto. Se você conhece \varepsilon_{z}(z), para obter o deslocamento absoluto u(z) integra-se essa derivada ao longo do comprimento.

Passo 3

Usando a relação acima, obtemos u(z) integrando \varepsilon_{z}:
\frac{du}{dz}=40\cdot10^{-3}\cdot z^{1/2}.
Integramos dos pontos: \displaystyle u(z)=\int_0^{z} \varepsilon_{z}(\zeta)\,d\zeta + C,
onde \zeta é uma variável de integração. O C é a constante de integração que se determina pela condição de contorno. Como a extremidade A está presa na figura, assumimos u(0)=0. Logo C=0.

Passo 4

Calcule a integral explicitamente. A integral de z^{1/2} é \tfrac{2}{3}z^{3/2}. Então
u(z)=40\cdot10^{-3}\int_0^{z}\zeta^{1/2}\,d\zeta =40\cdot10^{-3}\cdot\frac{2}{3}\,z^{3/2}.
Deixando claro cada passo: multiplicamos a constante 40\cdot10^{-3} pelo resultado da integral \tfrac{2}{3}z^{3/2}.

Passo 5

Agora avaliamos o deslocamento da extremidade B em z=L. Substituindo L=0,200\\ \text{m},
u_B=u(L)=40\cdot10^{-3}\cdot\frac{2}{3}\,L^{3/2}.
Calcule passo a passo numericamente:
L^{3/2}=(0,200)^{3/2}=(0,200)^{1{,}5}=0{,}200\sqrt{0{,}200}=0{,}200\cdot0{,}4472136\approx0{,}0894427.
40\cdot10^{-3}\cdot\frac{2}{3}=0{,}04\cdot0{,}6666667\approx0{,}02666667.
Multiplicando:
u_B\approx0{,}02666667\cdot0{,}0894427\approx0{,}00238514\\ \text{m}=2{,}385\\ \text{mm}.

Passo 6

Conceito para a parte (b) — deformação média: a deformação média ao longo do comprimento é definida por
\overline{\varepsilon}=\frac{1}{L}\int_0^{L}\varepsilon_{z}(z)\,dz.
Observação útil: como \varepsilon_{z}=du/dz, essa integral é igual a (u(L)-u(0))/L. Com u(0)=0 temos \overline{\varepsilon}=u_B/L. Intuição simples: média da taxa de alongamento ao longo da haste é deslocamento total dividido pelo comprimento.

Passo 7

Use o valor de u_B encontrado para calcular a deformação média:
\overline{\varepsilon}=\frac{u_B}{L}=\frac{0{,}00238514}{0{,}200}\approx0{,}0119257.
Em notação conveniente:
\overline{\varepsilon}\approx1{,}193\times10^{-2}\quad(\text{sem unidade})
ou seja cerca de 1{,}193\%.

Resposta

a) u_B=2{,}385\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}385\\ \mathrm{mm}\n
b) \overline{\varepsilon}=1{,}193\times10^{-2}

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