- Uma haste delgada é submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal de
, sendo
dado em metros. Determine:
a) O deslocamento da extremidade B da haste.
b) A deformação normal média na haste.
a) O deslocamento da extremidade B da haste.
b) A deformação normal média na haste.
Passo 1
O enunciado dá a deformação normal ao longo da haste como
, com
em metros. A haste tem comprimento mostrado na figura igual a
; peguei esse dado da imagem, portanto
O que pedem:
a) o deslocamento da extremidade da haste (ou seja,
relativo à extremidade
);\n
b) a deformação normal média na haste (ou seja, ao longo de
).
a) o deslocamento da extremidade
b) a deformação normal média na haste (ou seja,
Passo 2
Conceito chave — relação entre deformação axial e deslocamento: a deformação normal uniaxial
é a derivada do deslocamento axial
em relação a
,
Explicando devagar:
é “quanto estica por unidade de comprimento” em cada ponto. Se você conhece
, para obter o deslocamento absoluto
integra-se essa derivada ao longo do comprimento.
Passo 3
Usando a relação acima, obtemos
integrando
:
Integramos dos pontos:
,
onde é uma variável de integração. O
é a constante de integração que se determina pela condição de contorno. Como a extremidade
está presa na figura, assumimos
. Logo
.
onde
Passo 4
Calcule a integral explicitamente. A integral de
é
. Então
Deixando claro cada passo: multiplicamos a constante
pelo resultado da integral
.
Passo 5
Agora avaliamos o deslocamento da extremidade
em
. Substituindo
,
Calcule passo a passo numericamente:
Multiplicando:
Passo 6
Conceito para a parte (b) — deformação média: a deformação média ao longo do comprimento é definida por
Observação útil: como
, essa integral é igual a
. Com
temos
. Intuição simples: média da taxa de alongamento ao longo da haste é deslocamento total dividido pelo comprimento.
Passo 7
Use o valor de
encontrado para calcular a deformação média:
Em notação conveniente:
ou seja cerca de
.
Resposta
a)
\n
b)
b)