1. A chapa é deformada até a forma representada pelas linhas tracejadas. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecem horizontais e seus comprimentos não mudam. Determine:
    a) A deformação normal ao longo do lado AB .
    b) A deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa retangular inicial com largura 300\\ \text{mm} (de A a C) e altura 250\\ \text{mm} (de A a B). A figura mostra a chapa deformada (linhas tracejadas). Observações que tiro da figura (uso explícito dos valores indicados na imagem):
  • A aresta superior inteira deslocou-se para baixo 2\\ \text{mm} (seta vertical indicada) relativamente à posição original; portanto o deslocamento vertical do topo é v_{\text{top}}=-2\\ \text{mm}.
  • A aresta superior inteira deslocou-se para a esquerda 3\\ \text{mm} (seta horizontal indicada); portanto o deslocamento horizontal do topo é u_{\text{top}}=-3\\ \text{mm}.
  • A aresta inferior (base) permanece na linha de referência (assumo u_{\text{bot}}=0 e v_{\text{bot}}=0, conforme a figura em que a base original e a tracejada coincidem).
    Perguntas pedidas:
    a) A deformação normal ao longo do lado AB (isto é, a variação relativa do comprimento de AB).
    b) A deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y (isto é, o valor médio da componente de cisalhamento \gamma_{xy}).

Passo 2

O que é a deformação normal ao longo de AB e como calculamos: a deformação normal (engenharia) ao longo de uma aresta é
\varepsilon = \frac{L_{\text{final}}-L_{\text{inicial}}}{L_{\text{inicial}}},
onde L_{\text{inicial}} é o comprimento original de AB e L_{\text{final}} é o comprimento depois da deformação. Aqui L_{\text{inicial}}=250\\ \text{mm}.
Para achar L_{\text{final}} modelamos as coordenadas dos extremos antes e depois:
  • Ponto A (inferior esquerdo) inicial: (0,0). Depois da deformação, pela figura assumimos A'=(u_{\text{bot}},v_{\text{bot}})=(0,0).
  • Ponto B (superior esquerdo) inicial: (0,250). Depois: B'=(u_{\text{top}},250+v_{\text{top}})=(-3,\;250-2)=(-3,248) (valores em mm).
    O vetor final \overrightarrow{A'B'} é
\overrightarrow{A'B'} = (u_{\text{top}}-u_{\text{bot}},\; (250+v_{\text{top}})-v_{\text{bot}}) = (-3,\;248).
O comprimento final é
L_{\text{final}}=\sqrt{(-3)^2+248^2}=\sqrt{9+61504}=\sqrt{61513}\\ \text{mm}\approx 248{,}018145\\ \text{mm}.
A variação de comprimento é
\Delta L = L_{\text{final}}-L_{\text{inicial}} \approx 248{,}018145-250 = -1{,}981855\\ \text{mm}.
Logo a deformação normal ao longo de AB é
\varepsilon_{AB}=\frac{\Delta L}{L_{\text{inicial}}} \approx \frac{-1{,}981855}{250} \approx -0{,}0079274.
Interpretação: \varepsilon_{AB}\approx -7{,}93\times 10^{-3} (contração de cerca de 0{,}793\%).

Passo 3

O que é a deformação por cisalhamento média \gamma_{xy} e como calculamos: para pequenas deformações a componente de cisalhamento de engenharia é
\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x},
onde u(x,y) é o deslocamento na direção x e v(x,y) o deslocamento na direção y. Para obtermos um valor médio aproximado usamos diferenças médias:
\frac{\partial u}{\partial y}\approx \frac{u_{\text{top}}-u_{\text{bot}}}{\text{altura}},\qquad \frac{\partial v}{\partial x}\approx \frac{v_{\text{right}}-v_{\text{left}}}{\text{largura}}.
Da figura e das hipóteses usadas:
  • u_{\text{top}}=-3\\ \text{mm}, u_{\text{bot}}=0\\ \text{mm}, altura =250\\ \text{mm}. Então
\frac{\partial u}{\partial y}\approx \frac{-3-0}{250}=-\frac{3}{250}=-0{,}012.
  • As linhas horizontais permanecem horizontais e têm o mesmo comprimento, então o deslocamento vertical do topo é uniforme ao longo da largura: v_{\text{left}}=v_{\text{right}}=v_{\text{top}}=-2\\ \text{mm}. Assim
\frac{\partial v}{\partial x}\approx \frac{v_{\text{right}}-v_{\text{left}}}{300}=\frac{-2-(-2)}{300}=0.
Portanto a deformação por cisalhamento média é
\gamma_{xy}\approx -0{,}012+0=-0{,}012.
Interpretação: o valor negativo indica o sentido da rotação/ cisalhamento conforme o sistema de eixos adotado; o módulo é 0{,}012 (adimensional), que em radianos equivale a aproximadamente 0{,}012\\ \text{rad}\approx 0{,}687^\circ.

Resposta

\varepsilon_{AB}\approx -0{,}0079274 (≈ -7{,}93\times10^{-3})
\gamma_{xy}\approx -0{,}012 (módulo 0{,}012, ≈ 0{,}687^\circ)

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