Sejam
e
transformações lineares. Se
é invertível, prove que
é sobrejetiva e
é injectiva. Se
e
são invertíveis, prove que
é invertível.
Passo 1
Enunciado e dados (o que foi dado e o que pedem):
- São dadas transformações lineares
e . - Primeiro caso: sabe‑se que
é invertível (isto é, a composição tem inversa linear). Pede‑se provar que é sobrejetiva e que é injetiva. - Segundo caso: sabe‑se que
e são invertíveis (ou seja, ambas composições e têm inversas lineares). Pede‑se provar que é invertível.
Passo 2
Lembretes e definições úteis (explicação didática):
- Uma transformação linear
é invertível quando existe uma transformação linear tal que (identidade do domínio) e (identidade do contradomínio). Isso implica que é bijetiva. -
é injetiva significa que . Explicação: injetiva = nunca manda dois vetores diferentes no mesmo vetor; isso é equivalente a dizer que a única solução de é . -
é sobrejetiva significa que (imagem de ) é todo o contradomínio. Explicação: para cada vetor do contradomínio existe um pré‑imagem. - Observação: se
é invertível então necessariamente é injetiva e sobrejetiva (pois uma bijeção tem essas propriedades). Vamos usar essa propriedade para as composições dadas.
Passo 3
Mostrando que, quando
é invertível,
é sobrejetiva — ideia geral:
- Como
é invertível, é sobrejetiva (pois toda aplicação invertível é sobrejetiva). - Portanto, para qualquer
existe tal que
- Escrevendo a composição, isso é
- Logo
. Como foi um elemento arbitrário de , segue que . - Conclusão:
é sobrejetiva.
Passo 4
Explicando passo a passo por que o argumento de cima funciona (muito prático para prova):
- Passo prático que você pode fazer na prova: ao saber que
é invertível, escreva “ é sobrejetiva”. Em seguida escolha um qualquer e use a surjetividade para obter com . Então observe que , logo está na imagem de . Como era arbitrário, a imagem de é todo .
Passo 5
Mostrando que, quando
é invertível,
é injetiva — ideia geral:
- Como
é invertível, (injetividade de ). - Suponha
tal que . Então
- Assim
. Como , obtemos . - Conclusão: a única
com é , ou seja, é injetiva.
Passo 6
Agora assumindo que tanto
quanto
são invertíveis — deduzindo propriedades de
e
:
- Já da primeira parte (Passos 3 e 5) com
invertível temos: é sobrejetiva e é injetiva. - Pelo fato de
ser invertível, aplicamos o mesmo raciocínio trocando os papéis de e (agora a composição é ): -
invertível implica que é sobrejetiva. Logo, para todo existe tal que
ou seja, . Assim e, por arbitrariedade de , . Portanto é sobrejetiva. - Também
invertível implica . Se então , logo e assim . Portanto é injetiva.
-
Passo 7
Concluindo que
é invertível:
- Reunindo resultados:
- De
invertível obtivemos que é sobrejetiva. - De
invertível obtivemos que é injetiva.
- De
- Assim
é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). Para uma transformação linear, bijetividade implica existência de inversa linear. Logo é invertível. - (Comentário extra útil para a prova): uma forma construtiva do inverso é mostrar que existem um inverso à esquerda e um à direita e que eles coincidem; por exemplo
Isto mostra existência de inversas à direita e à esquerda; com injetividade/sobrejetividade concluímos que
tem inversa linear.