Sejam A: E \rightarrow F e B: F \rightarrow E transformações lineares. Se A B é invertível, prove que A é sobrejetiva e B é injectiva. Se A B e B A são invertíveis, prove que A é invertível.

Passo 1

Enunciado e dados (o que foi dado e o que pedem):
  • São dadas transformações lineares A: E \to F e B: F \to E.
  • Primeiro caso: sabe‑se que A B é invertível (isto é, a composição A\circ B: F\to F tem inversa linear). Pede‑se provar que A é sobrejetiva e que B é injetiva.
  • Segundo caso: sabe‑se que A B e B A são invertíveis (ou seja, ambas composições A\circ B: F\to F e B\circ A: E\to E têm inversas lineares). Pede‑se provar que A é invertível.

Passo 2

Lembretes e definições úteis (explicação didática):
  • Uma transformação linear T é invertível quando existe uma transformação linear T^{-1} tal que T^{-1}\circ T = \operatorname{Id} (identidade do domínio) e T\circ T^{-1}=\operatorname{Id} (identidade do contradomínio). Isso implica que T é bijetiva.
  • T é injetiva significa que \ker T=\{0\}. Explicação: injetiva = nunca manda dois vetores diferentes no mesmo vetor; isso é equivalente a dizer que a única solução de T(x)=0 é x=0.
  • T é sobrejetiva significa que \operatorname{Im}T (imagem de T) é todo o contradomínio. Explicação: para cada vetor do contradomínio existe um pré‑imagem.
  • Observação: se T é invertível então necessariamente T é injetiva e sobrejetiva (pois uma bijeção tem essas propriedades). Vamos usar essa propriedade para as composições dadas.

Passo 3

Mostrando que, quando A B é invertível, A é sobrejetiva — ideia geral:
  • Como A B é invertível, A B é sobrejetiva (pois toda aplicação invertível é sobrejetiva).
  • Portanto, para qualquer y\in F existe x\in F tal que
(A B)(x)=y.
  • Escrevendo a composição, isso é
A\big(B(x)\big)=y.
  • Logo y\in\operatorname{Im}A. Como y foi um elemento arbitrário de F, segue que \operatorname{Im}A=F.
  • Conclusão: A é sobrejetiva.

Passo 4

Explicando passo a passo por que o argumento de cima funciona (muito prático para prova):
  • Passo prático que você pode fazer na prova: ao saber que A B é invertível, escreva “ A B é sobrejetiva”. Em seguida escolha um y\in F qualquer e use a surjetividade para obter x\in F com (A B)(x)=y. Então observe que y=A(B(x)), logo y está na imagem de A. Como y era arbitrário, a imagem de A é todo F.

Passo 5

Mostrando que, quando A B é invertível, B é injetiva — ideia geral:
  • Como A B é invertível, \ker(A B)=\{0\} (injetividade de A B).
  • Suponha v\in F tal que B(v)=0. Então
(A B)(v)=A(B(v))=A(0)=0.
  • Assim v\in\ker(A B). Como \ker(A B)=\{0\}, obtemos v=0.
  • Conclusão: a única v\in F com B(v)=0 é v=0, ou seja, B é injetiva.

Passo 6

Agora assumindo que tanto A B quanto B A são invertíveis — deduzindo propriedades de A e B:
  • Já da primeira parte (Passos 3 e 5) com A B invertível temos: A é sobrejetiva e B é injetiva.
  • Pelo fato de B A ser invertível, aplicamos o mesmo raciocínio trocando os papéis de A e B (agora a composição é B A: E\to E):
    • B A invertível implica que B A é sobrejetiva. Logo, para todo e\in E existe x\in E tal que
    (B A)(x)=e,ou seja, e=B(A(x)). Assim e\in\operatorname{Im}B e, por arbitrariedade de e, \operatorname{Im}B=E. Portanto B é sobrejetiva.
    • Também B A invertível implica \ker(B A)=\{0\}. Se A(u)=0 então (B A)(u)=B(0)=0, logo u\in\ker(B A) e assim u=0. Portanto A é injetiva.

Passo 7

Concluindo que A é invertível:
  • Reunindo resultados:
    • De A B invertível obtivemos que A é sobrejetiva.
    • De B A invertível obtivemos que A é injetiva.
  • Assim A é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). Para uma transformação linear, bijetividade implica existência de inversa linear. Logo A é invertível.
  • (Comentário extra útil para a prova): uma forma construtiva do inverso é mostrar que existem um inverso à esquerda e um à direita e que eles coincidem; por exemplo
A\circ\bigl(B (A B)^{-1}\bigr)=\operatorname{Id}_{F}, \qquad \bigl((B A)^{-1} B\bigr)\circ A=\operatorname{Id}_{E}.
Isto mostra existência de inversas à direita e à esquerda; com injetividade/sobrejetividade concluímos que A tem inversa linear.

Resposta

A é sobrejetiva.
B é injetiva.
A é invertível.

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