Para a hélice
\mathbf{r}=a \cos t \mathbf{i}+a \operatorname{sen} t \mathbf{j}+c t \mathbf{k}, determine c(c>0) tal que a hélice fará uma volta completa em uma distância de 3 unidades medida ao longo do eixo- z.

Passo 1

O enunciado dá a hélice
\mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+a\sin t\,\mathbf{j}+c\,t\,\mathbf{k}
e pede c>0 de modo que, ao completar uma volta t de 0 a 2\pi, o deslocamento ao longo do eixo z seja 3 unidades. Vamos usar a relação entre o parâmetro t e o deslocamento vertical.

Passo 2

Uma volta completa ocorre quando t aumenta de 0 a 2\pi. O componente z da hélice é
z(t)=c\,t.
Logo, o deslocamento vertical após uma volta é
\Delta z = z(2\pi)-z(0)=c\,(2\pi)-c\cdot0=2\pi c.

Passo 3

Impondo que esse deslocamento valha 3 unidades, temos
2\pi c = 3.
Resolvendo para c,
c = \frac{3}{2\pi},
que satisfaz c>0.

Resposta

c=\frac{3}{2\pi}.

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