As hélices de um navio estão acopladas a um eixo tubular, feito de aço A-36 e com 60 m de comprimento, diâmetro externo de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm . Se a potência de saída for 4,5 \mathrm{MW} quando o eixo girar a 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, qual será a tensão de torção máxima no eixo e seu ângulo de torção? Dado: \mathrm{G}=75 GPa . Resposta: \varphi=\mathbf{0 , 2 0 8 5} \mathrm{rad} ou 11,9^{\circ} ; \tau_{\text {máx }}=\mathbf{4 4 , 3 ~ M P a}á

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a tensão de torção máxima no eixo e o ângulo de torção do eixo.
As informações dadas são:
\;P=4,5\\ \mathrm{MW} (potência de saída),
\;\omega=20\\ \mathrm{rad/s} (velocidade angular),
comprimento do eixo \;L=60\\ \mathrm{m},
diâmetro externo \;d_o=340\\ \mathrm{mm}=0,34\\ \mathrm{m},
diâmetro interno \;d_i=260\\ \mathrm{mm}=0,26\\ \mathrm{m},
módulo de cisalhamento \;G=75\\ \mathrm{GPa}=75\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Não há outras informações necessárias.

Passo 2

Primeiro precisamos do torque aplicado no eixo. A relação entre potência, torque e velocidade angular é:
P = T\,\omega
onde P é potência (em W), T é torque (em \mathrm{N\cdot m}) e \omega é velocidade angular (em \mathrm{rad/s}). Isolando T,
T=\frac{P}{\omega}.
Substituindo os valores (convertendo P para watts):
P=4,5\times10^{6}\\ \mathrm{W},\quad \omega=20\\ \mathrm{rad/s},
T=\frac{4,5\times10^{6}}{20}=2,25\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Para calcular a tensão de cisalhamento máxima usamos a fórmula para eixo circular oco submetido a torque:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo e J é o momento polar de inércia da seção transversal. Para um tubo circular:
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^{4}-d_i^{4}\right).
Aqui d_o e d_i são os diâmetros externo e interno, respectivamente. Vamos calcular J.
Convertemos diâmetros para metros (já feito no Passo 1):
d_o=0,34\\ \mathrm{m},\quad d_i=0,26\\ \mathrm{m}.
Calculemos as potências:
d_o^{2}=0,34^{2}=0,1156,\quad d_o^{4}=(0,1156)^{2}=0,013361,
d_i^{2}=0,26^{2}=0,0676,\quad d_i^{4}=(0,0676)^{2}=0,00457176.
Diferença:
d_o^{4}-d_i^{4}=0,013361-0,00457176=0,00878924\\ (\text{aprox.}).
Agora J:
J=\frac{\pi}{32}\times 0,00878924 \approx 0,09817477\times 0,00878924 \approx 8,629\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Calculemos a tensão de cisalhamento máxima. O raio externo é
c=\frac{d_o}{2}=0,17\\ \mathrm{m}.
Usando \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}:
T\,c=(2,25\times10^{5})\times 0,17=3,825\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Dividindo por J:
\tau_{\max}=\frac{3,825\times10^{4}}{8,629\times10^{-4}}\approx 4,433\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=44,33\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto,
\tau_{\max}\approx 44,3\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Agora o ângulo de torção. Para um eixo uniforme submetido a torque constante:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde \varphi é o ângulo de torção em radianos (adimensional). Substituindo:
T=2,25\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m},\quad L=60\\ \mathrm{m},
G=75\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\quad J=8,629\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}.
Calculemos numerador e denominador:
T\,L=(2,25\times10^{5})\times60=1,35\times10^{7}.
G\,J=(75\times10^{9})\times(8,629\times10^{-4})\approx 6,47175\times10^{7}.
Dividindo:
\varphi=\frac{1,35\times10^{7}}{6,47175\times10^{7}}\approx 0,20857\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus ( 1\\ \mathrm{rad}=180/\pi graus):
\phi_{\text{deg}}=0,20857\times\frac{180}{\pi}\approx 11,95^\circ\approx 11,9^\circ.

Passo 6

Resumo rápido: torque calculado a partir da potência e velocidade ( T=2,25\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m}), momento polar J\approx 8,629\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}, daí obtivemos \tau_{\max}\approx 44,3\\ \mathrm{MPa} e \varphi\approx 0,2086\\ \mathrm{rad} (≈ 11,9^\circ). Esses valores conferem com a resposta fornecida.

Resposta

\varphi=0,2085\\ \mathrm{rad} ou 11,9^\circ
\tau_{\text{máx}}=44,3\\ \mathrm{MPa}á

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