Determine, com aproximação de 1 / 8 pol, o diâmetro de um eixo maciço necessário para transmitir 150 hp a 4000 rpm . O material tem tensão de cisalhamento admissível de 8 ksi . Resposta: (1+2/8) pol

Passo 1

O enunciado pede encontrar o diâmetro de um eixo maciço (sólido) necessário para transmitir potência e respeitar a tensão de cisalhamento admissível. Dados fornecidos:
P = 150\\ \text{hp},\quad N = 4000\\ \text{rpm},\quad \tau_{adm}=8\\ \text{ksi}=8000\\ \text{psi}.
Queremos o diâmetro final em polegadas, aproximado ao oitavo de polegada (1/8 pol). A resolução começa por transformar potência e rotação em torque e, em seguida, relacionar o torque com a tensão de cisalhamento para um eixo circular maciço.

Passo 2

Vamos obter o torque { T} a partir da potência { P} e da rotação { N}. A potência e o torque estão relacionados por
P = T\omega,
onde { \omega} é a velocidade angular em rad/s. Para converter unidades convenientemente em prática de máquinas usa-se a fórmula conhecida
T(\text{ft}\cdot\text{lb})=\frac{5252\,P(\text{hp})}{N(\text{rpm})}.
Breve explicação da constante: vem de combinar P(\text{hp})\cdot550 (ft·lb/s por hp) com \omega=2\pi N/60, resultando em T=(550P)/(2\pi N/60)=(33000P)/(2\pi N)=5252\,P/N.
Agora calculamos:
T(\text{ft}\cdot\text{lb})=\frac{5252\cdot150}{4000}=196{,}95\\ \text{ft}\cdot\text{lb}.
Convertendo para in·lb (multiplica por 12):
T(\text{in}\cdot\text{lb})=196{,}95\times12=2363{,}4\\ \text{in}\cdot\text{lb}.

Passo 3

Recordando a fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular sólido submetido a torque:
para um eixo sólido de diâmetro d,
J=\frac{\pi d^4}{32}\quad\text{(momento polar de inércia)},é
o raio externo é c=d/2 e a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Substituindo J e c obtemos a forma mais prática
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^3}.
Aqui: T em in·lb, d em in e \tau em psi.

Passo 4

Isolamos d na equação \tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}. Rearranjando:
d^3=\frac{16\,T}{\pi\,\tau}.
Agora substituímos os valores numéricos (usando T=2363{,}4\\ \text{in}\cdot\text{lb} e \tau=8000\\ \text{psi}):
d^3=\frac{16\cdot2363{,}4}{\pi\cdot8000}=\frac{37814{,}4}{25132{,}7412287}\approx1{,}50425.

Passo 5

Precisamos extrair a raiz cúbica de d^3\approx1{,}50425 para obter d.
Faço um cálculo por tentativa/interpolação (fazível à mão na prova):
  • 1{,}14^3=1{,}482 (aprox.),
  • 1{,}15^3=1{,}521875 (aprox.).
    O valor buscado 1{,}50425 fica entre esses dois; verificando mais fino:
  • 1{,}145^3\approx1{,}5005,
  • 1{,}146^3\approx1{,}5049.
    Interpolando, obtemos
d\approx1{,}146\\ \text{pol}.
Portanto o diâmetro mínimo calculado é cerca de 1{,}146 pol.

Passo 6

O enunciado pede aproximação de 1/8 pol (ou seja, escolher o diâmetro em incrementos de 0{,}125 pol). As opções relevantes próximas são:
1{,}125\\ \text{pol} (=1+\tfrac{1}{8})\quad\text{e}\quad 1{,}25\\ \text{pol} (=1+\tfrac{2}{8}).
Como 1{,}146>1{,}125, o diâmetro 1{,}125 pol seria insuficiente (não garante \tau\le\tau_{adm}). Então devemos adotar o próximo tamanho comercial maior para segurança, que é
1{,}25\\ \text{pol}=1+\tfrac{2}{8}\\ \text{pol}.
Bom trabalho — aguentou firme até aqui! Esse arredondamento pra cima é obrigatório em projeto para não exceder a tensão admissível.

Resposta

\;1+\tfrac{2}{8}\\ \text{pol}

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