O tubo de perfuração de uma perfuratriz de petróleo tem diâmetro externo de 4,5 \mathrm{pol} e espessura de 0,25 \mathrm{pol}. Supondo que o tubo gire a 650 \mathrm{ver} / \mathrm{min} quando acionado por um motor de 15 hp , determinar a tensão de cisalhamento máxima nele desenvolvida. Resposta: \mathbf{2 1 6} \mathbf{~ p s i}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a tensão de cisalhamento máxima no tubo:
D=4,5\\ \text{pol} \quad(\text{diâmetro externo}),â
t=0,25\\ \text{pol} \quad(\text{espessura}),
n=650\\ \text{rev/min} \quad(\text{velocidade de rotação}),çã
P=15\\ \text{hp} \quad(\text{potência do motor}).ê
O que se pede: calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} desenvolvida no tubo.

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar): quando um eixo tubular está submetido a torque, a tensão de cisalhamento máxima na parede externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde T é o torque aplicado, c é o raio externo do tubo e J é o momento polar de inércia da seção transversal (para um tubo circular oco). Para obter T usamos a relação entre potência e velocidade angular:
P=T\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular em \text{rad/s}. Vou mostrar cada fórmula, explicar as variáveis e fazer as conversões de unidades passo a passo.

Passo 3

Converter a potência para unidades compatíveis (vou trabalhar em \text{in}\cdot\text{lbf}/\text{s} para que a tensão saia em \text{lbf}/\text{in}^2 = psi). Sabendo que 1\\ \text{hp}=550\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{s} e 1\\ \text{ft}=12\\ \text{in}, temos
1\\ \text{hp}=550\times 12=6600\\ \text{in}\cdot\text{lbf}/\text{s}.
Portanto
P=15\times 6600=99\,000\\ \text{in}\cdot\text{lbf}/\text{s}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega. A relação entre rotações por minuto n e \omega é
\omega=2\pi\frac{n}{60}.
Substituindo n=650,
\omega=2\pi\frac{650}{60}=\frac{65\pi}{3}\\ \text{rad/s}.
(Se preferir número aproximado, \omega\approx 68,08\\ \text{rad/s}.)

Passo 5

Determinar o torque T usando T=\dfrac{P}{\omega}. Usando as formas exatas:
T=\frac{99\,000}{\tfrac{65\pi}{3}}=\frac{297\,000}{65\pi}\\ \text{in}\cdot\text{lbf}.
Calculando numericamente,
T\approx 1\,454{,}3\\ \text{in}\cdot\text{lbf}.

Passo 6

Determinar as dimensões geométricas necessárias. O diâmetro interno d do tubo é
d=D-2t=4,5-2(0,25)=4,0\\ \text{pol}.
O raio externo (distância da fibra mais crítica ao centro) é
c=\frac{D}{2}=\frac{4,5}{2}=2,25\\ \text{pol}.

Passo 7

Calcular o momento polar de inércia J da seção tubular. Para um tubo circular oco:
J=\frac{\pi}{32}\left(D^4-d^4\right).
Primeiro calculemos D^4 e d^4:
D^2=4{,}5^2=20{,}25\quad\Rightarrow\quad D^4=20{,}25^2=410{,}0625,
d^4=4{,}0^4=256.
Logo
D^4-d^4=410{,}0625-256=154{,}0625.
Portanto
J=\frac{\pi}{32}\times 154{,}0625\approx 15{,}129\\ \text{in}^4.

Passo 8

Aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Substituindo os valores numéricos:
\tau_{\max}=\frac{1\,454{,}3\times 2{,}25}{15{,}129}\\ \text{lbf}/\text{in}^2.
Calculemos o numerador:
T\,c\approx 1\,454{,}3\times 2{,}25\approx 3\,272{,}2\\ \text{in}\cdot\text{lbf}.
Dividindo:
\tau_{\max}\approx \frac{3\,272{,}2}{15{,}129}\approx 216{,}3\\ \text{psi}.

Passo 9

Interpretação e arredondamento final: a tensão de cisalhamento máxima obtida é aproximadamente 216{,}3\\ \text{psi}. Arredondando para três algarismos significativos (ou conforme o enunciado), isso corresponde a 216\\ \text{psi}, que coincide com a resposta fornecida.

Resposta

216\\ \text{psi}

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