Hexano e Pentano estão sendo separados continuamente numa coluna de destilação com uma razão reciclo:destilado de 0.6. Se a alimentação na coluna for de 50% de hexano em peso, a corrente do destilado de saída do processo é de 5 \% de hexano em peso. Antes da saída do processo a corrente que sai da coluna de destilação entra num condensador, depois parte da corrente é reciclada para dentro da coluna, a outra é o destilado. A corrente do fundo é 96 \% de hexano em peso, determine os fluxos para uma alimentação de 100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (tirei estes números diretamente do enunciado):
  • Alimentação: F = 100\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição da alimentação: 50\% de hexano em massa (ou seja, fração em massa de hexano w_F=0{,}50).
  • Composição do destilado: 5\% de hexano em massa (fração em massa do hexano no destilado w_D=0{,}05).
  • Composição do fundo: 96\% de hexano em massa (fração em massa do hexano no fundo w_B=0{,}96).
  • Razão reciclo:destilado r=\dfrac{R}{D}=0{,}6.
  • O fluxo que devemos determinar (em \mathrm{kmol/h}) são: o destilado D, o reciclo R e o fundo B.
Observação: as composições foram dadas em base massa (percentagem em peso), enquanto os fluxos pedidos estão em \mathrm{kmol/h}. Para montar balanços de matéria em \mathrm{kmol/h} é necessário converter frações em massa para frações molares — faremos isso explicitamente nos passos seguintes.

Passo 2

Como não foram dadas as massas molares no enunciado, vou usar valores típicos:
  • massa molar do hexano: M_H = 86{,}18\\ \mathrm{g/mol}.
  • massa molar do pentano: M_P = 72{,}15\\ \mathrm{g/mol}.
Explicação didática (fórmula de conversão massa → mol):
  • Se a fração em massa de hexano é w, a fração molar de hexano x é
x=\frac{\dfrac{w}{M_H}}{\dfrac{w}{M_H}+\dfrac{1-w}{M_P}}.
Isto vem de: massa relativa por componente dividida pela massa molar dá número relativo de mols; a fração molar é a parcela desses mols no total.
Agora calculo as frações molares correspondentes às frações em massa dadas:
Para a alimentação ( w_F=0{,}50):
x_F=\frac{\dfrac{0{,}50}{86{,}18}}{\dfrac{0{,}50}{86{,}18}+\dfrac{0{,}50}{72{,}15}} =\frac{0{,}0058029}{0{,}0058029+0{,}0069282}=0{,}4558\\ (\text{aprox.}).
Para o destilado ( w_D=0{,}05):
x_D=\frac{\dfrac{0{,}05}{86{,}18}}{\dfrac{0{,}05}{86{,}18}+\dfrac{0{,}95}{72{,}15}} =\frac{0{,}00058029}{0{,}00058029+0{,}0131669}=0{,}04221\\ (\text{aprox.}).
Para o fundo ( w_B=0{,}96):
x_B=\frac{\dfrac{0{,}96}{86{,}18}}{\dfrac{0{,}96}{86{,}18}+\dfrac{0{,}04}{72{,}15}} =\frac{0{,}011150}{0{,}011150+0{,}0005544}=0{,}9526\\ (\text{aprox.}).
Resumo das frações molares usadas:
  • \;x_F\approx0{,}4558
  • \;x_D\approx0{,}04221
  • \;x_B\approx0{,}9526

Passo 3

Montagem dos balanços (explicação passo a passo):
  • Rotule os fluxos em \mathrm{kmol/h}: alimentação F, destilado D, reciclo R, fundo B.
  • Razão de reciclo: R=rD com r=0{,}6, logo R=0{,}6D.
  • Balanço global de mols (componente total): no regime estacionário,
F+R = D + B.
Substituindo R=rD:
B = F + (r-1)D.
Agora o balanço de componente (hexano) — que é o que determina as frações molares:
F x_F + R x_D = D x_D + B x_B.
Substituindo R=rD e isolando termos em D:
F x_F + rD x_D = D x_D + B x_B.
Rearranjando e substituindo B = F + (r-1)D chega-se, com cálculo algébrico, à fórmula fechada (mostro o passo algébrico importante):
F x_F = D(1-r)x_D + B x_B = D(1-r)x_D + \big(F+(r-1)D\big)x_B,
F x_F - F x_B = D\big[(1-r)x_D + (r-1)x_B\big] = D(1-r)(x_D - x_B).
Portanto:
\boxed{D=\dfrac{F(x_F-x_B)}{(1-r)(x_D-x_B)}}.
Esse resultado é muito prático: dá D diretamente em função de F, das frações molares e de r.

Passo 4

Agora substituo os números:
  • F=100\\ \mathrm{kmol/h},
  • r=0{,}6,
  • x_F\approx0{,}4558,
  • x_D\approx0{,}04221,
  • x_B\approx0{,}9526.
Calcule o numerador e denominador separadamente:
x_F-x_B=0{,}4558-0{,}9526=-0{,}4968,
x_D-x_B=0{,}04221-0{,}9526=-0{,}9104,
1-r=0{,}4.
Logo
D=\frac{100\cdot(-0{,}4968)}{0{,}4\cdot(-0{,}9104)}=\frac{-49{,}68}{-0{,}36416}=136{,}4\\ \mathrm{kmol/h}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcule R e B a partir de D:
R=rD=0{,}6\cdot136{,}4=81{,}8\\ \mathrm{kmol/h}\\ (\text{aprox.}),
B=F+R-D=100+81{,}8-136{,}4=45{,}4\\ \mathrm{kmol/h}\\ (\text{aprox.}).
Verificação rápida do balanço de hexano (checagem):
  • Hexano entrando: F x_F =100\cdot0{,}4558\approx45{,}58\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Hexano no reciclo: R x_D \approx81{,}8\cdot0{,}04221\approx3{,}45.
  • Total hexano entrada =45{,}58+3{,}45=49{,}03.
  • Hexano saindo: D x_D \approx136{,}4\cdot0{,}04221\approx5{,}76 e B x_B\approx45{,}4\cdot0{,}9526\approx43{,}27.
  • Soma saída =5{,}76+43{,}27=49{,}03, confere com entrada (pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

D = 136{,}4\\ \mathrm{kmol/h}
R = 81{,}8\\ \mathrm{kmol/h}
B = 45{,}4\\ \mathrm{kmol/h}

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