(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) Uma tubulação de 0,3 \mathrm{~m} de diâmetro e 3,2 \mathrm{~km} de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 150 m , para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m , conectando-se aos reservatórios em pontos situados a 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instala-se uma bomba na altitude 135 m a fím de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f=0,020 e que o rendimento da bomba seja de 80 \%, determine: (a) a vazão original do sistema por gravidade; (b) a potência necessária a bomba para recalcar uma vazão de 0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}; (c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora; (d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba nas condições do item anterior.
R. (a) \mathrm{Q}=0,117 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
(b) Pot =34,93 \mathrm{~kW}(47,5 \mathrm{cv})

Passo 1

O enunciado trata de escoamento em tubulação inclinada, usando a equação de energia (Bernoulli generalizada) com perdas de carga de Darcy–Weisbach e instalação de bomba para aumentar a vazão. Precisamos para (a) igualar a perda de carga total ao desnível disponível e achar a vazão; para (b) calcular a cabeça da bomba e potência; para (c) determinar as cargas de pressão (carga piezométrica) imediatamente antes e depois da bomba; e para (d) esboçar a linha de energia e a linha piezométrica.

Passo 2

Para a vazão original por gravidade não há bomba. A diferença de altitude entre os pontos de conexão é
\Delta z = (150-10) - (120-10) = 140 - 110 = 30\text{ m}.
As perdas de carga totais na tubulação são
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Como em regime permanente a única “energia” disponível é a variação de potencial, igualamos
\Delta z = h_f.

Passo 3

Substituindo L=3200\rm\\ m, D=0{,}3\rm\\ m, f=0{,}02 e g=9{,}81\rm\\ m/s^2, obtemos
30 = 0{,}02\,\frac{3200}{0{,}3}\,\frac{V^2}{2\cdot9{,}81} \quad\Longrightarrow\quad V = 1{,}660\rm\\ m/s.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}3)^2}{4} = 0{,}07069\rm\\ m^2,
logo a vazão original é
Q = A\,V = 0{,}07069\cdot1{,}660 = 0{,}1173\rm\\ m^3/s\approx0{,}117\rm\\ m^3/s.

Passo 4

Para a vazão desejada Q=0{,}15\rm\\ m^3/s a velocidade fica
V = \frac{0{,}15}{0{,}07069} = 2{,}122\rm\\ m/s.
As perdas de carga totais são
h_f^{\rm tot} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} =0{,}02\frac{3200}{0{,}3}\frac{(2{,}122)^2}{2\cdot9{,}81} \approx49{,}0\rm\\ m.
A bomba deve adicionar a cabeça extra
H_p = h_f^{\rm tot} - \Delta z = 49{,}0 - 30 = 19{,}0\rm\\ m.
A potência hidráulica é
P_h = \rho g Q H_p =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}15\cdot19{,}0 =27{,}96\rm\\ kW,
e a potência elétrica considerando rendimento \eta=0{,}80:
P_{\rm bomba} = \frac{P_h}{\eta} = \frac{27{,}96}{0{,}80} =34{,}95\rm\\ kW.

Passo 5

Para achar a carga piezométrica imediatamente antes da bomba, calculamos a carga de energia nesse ponto. No reservatório superior a carga é H_{\rm res}=150\rm\\ m. A perda no trecho até a bomba L_1 corresponde a
L_1 = \frac{140-135}{30/3200} =533{,}3\rm\\ m,
e
h_{f1} =0{,}02\frac{533{,}3}{0{,}3}\frac{(2{,}122)^2}{2\cdot9{,}81} \approx8{,}17\rm\\ m.
A carga total de energia na sucção da bomba é
H_1 = 150 - h_{f1} =150 -8{,}17 =141{,}83\rm\\ m.
Como
H_1 = z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{V^2}{2g},
com z_1=135\rm\\ m e V^2/2g=0{,}2295\rm\\ m, vem
\frac{p_1}{\rho g} = H_1 - z_1 - \frac{V^2}{2g} =141{,}83 - 135 -0{,}2295 =6{,}60\rm\\ m.
Após a bomba a carga de energia é
H_2 = H_1 + H_p =141{,}83 +19 =160{,}83\rm\\ m
e a carga de pressão na descarga é
\frac{p_2}{\rho g} = H_2 - z_2 - \frac{V^2}{2g} =160{,}83 -135 -0{,}2295 =25{,}60\rm\\ m.

Passo 6

A linha de energia (energia específica H) parte de 150\rm\\ m no reservatório, decai linearmente pelas perdas até 141,83\rm\\ m na sucção da bomba, salta para 160,83\rm\\ m na descarga e, em seguida, decai de novo até 110\rm\\ m no reservatório inferior.
A linha piezométrica é semelhante, mas sempre separada da linha de energia por V^2/2g\approx0{,}23\rm\\ m.

Resposta

(a) Q=0{,}117\rm\\ m^3/s
(b) P_{\rm bomba}=34{,}95\rm\\ kW ( \approx 47,5 cv)
(c) Carga de pressão na sucção: \displaystyle\frac{p_1}{\rho g}=6{,}60\rm\\ m. Carga de pressão na descarga: \displaystyle\frac{p_2}{\rho g}=25{,}60\rm\\ m.
(d) A linha de energia desce de 150 até 141{,}83, salta para 160{,}83 no bombeamento e decai até 110; a linha piezométrica fica sempre V^2/2g abaixo da linha de energia.

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