A hidroalquilação é uma reação que pode ser usada para converter tolueno em benzeno, que normalmente é mais valioso que o tolueno. A reação é:
\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{8}+\mathrm{H}_{2} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}+\mathrm{CH}_{4}
Cuja taxa de consumo do tolueno pode ser escrita como: \left(-\mathrm{r}_{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{C}_{\mathrm{H} 2}{ }^{0,5} \mathrm{C} c7H8 mol/L.s
\mathrm{K}_{\mathrm{T}}: 3,5 \times 10^{10} \exp (-\mathrm{E} / \mathrm{RT}) . \mathrm{L}^{0,5} . \mathrm{mol}^{-0,5} \mathrm{~s}^{-1}
E: 50900 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}.
Condições reacionais:
Reator: PFR
Calor de reação: -12,9 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}
Independente da temperatura todos os calores de reação são iguais a 36 cal/mol.K, alimentação de 2000 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} de uma mistura contendo 50 \% de tolueno e 50 \% de \mathrm{H}_{2}, condições de alimentação: \mathrm{T}_{0}= 850^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{P}=1 \mathrm{~atm}.
Pede-se:
Se o reator for operado isotermicamente a 850^{\circ} \mathrm{C}, qual o volume necessário para atingir uma conversão de 50 \% na saída?

Passo 1

O enunciado pede: operando um reator PFR isotérmico a 850^\circ\mathrm{C}, qual o volume necessário para atingir conversão de 50\% do tolueno na saída?
Informações relevantes fornecidas (copiadas do enunciado):
\mathrm{C}_7\mathrm{H}_8 + \mathrm{H}_2 \rightarrow \mathrm{C}_6\mathrm{H}_6 + \mathrm{CH}_4 (este é o balanço estequiométrico).
Taxa de consumo do tolueno escrita como \left(-r_T\right)=k_T\;C_{\mathrm{H}_2}^{0,5}\;C_{7\mathrm{H}_8}.
Constante: k_T = 3{,}5\times10^{10}\exp\!\left(-\dfrac{E}{RT}\right)\\ \mathrm{L}^{0{,}5}\mathrm{mol}^{-0{,}5}\mathrm{s}^{-1}.
Energia de ativação: E=50900\\ \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Condições de alimentação: 2000\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{h}^{-1} de uma mistura 50\% tolueno e 50\% \mathrm{H}_2.
Temperatura de operação isotérmica: T_0=850^\circ\mathrm{C}. Pressão: P=1\\ \mathrm{atm}.
Pede-se V para conversão X=0{,}5 do tolueno.

Passo 2

Converter unidades e calcular fluxos molares iniciais (trabalhar em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}^{-1} e \mathrm{L} para compatibilizar com k_T e concentrações):
Fluxo molar total de alimentação: F_{tot,0}=\frac{2000\\ \mathrm{mol}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}5555556\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Como a mistura é 50\% 50\%, os fluxos molares iniciais são:
F_{T,0}=F_{H_2,0}=\frac{2000}{2\cdot3600}=0{,}2777778\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Converter temperatura para Kelvin e obter T: T=850^\circ\mathrm{C}+273{,}15=1123{,}15\\ \mathrm{K}\approx1123\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Determinar a vazão volumétrica inicial ( \mathrm{L}\cdot\mathrm{s}^{-1}) usando a lei dos gases ideais. Com P=1\\ \mathrm{atm} e R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}:
v_0 = F_{tot,0}\frac{R\,T}{P} = 0{,}5555556\cdot 0{,}082057 \cdot 1123 \approx 51{,}198\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Observação importante (muito útil!): pela estequiometria a reação consome 2 mols de reagentes e forma 2 mols de produtos (soma de mols gás: 2\to2), portanto o número total de mols não muda. Logo a vazão volumétrica \;v\; permanece constante e igual a v_0 sob condições isotérmicas e isobáricas.

Passo 5

Expressar concentrações em função da conversão X. Para o tolueno (espécie limitante A): C_T = \frac{F_{T}}{v} = \frac{F_{T,0}(1-X)}{v_0}.
Para o hidrogênio: C_{H_2} = \frac{F_{H_2}}{v} = \frac{F_{H_2,0}-F_{T,0}X}{v_0}.
Como F_{H_2,0}=F_{T,0}, C_{H_2}=C_T. Portanto a expressão da taxa simplifica para: \left(-r_T\right)=k_T\;C_T^{1{,}5}.

Passo 6

Calcular k_T na temperatura de operação usando Arrhenius. Usamos R=1{,}987\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (unidades de energia em cal):
k_T = 3{,}5\times10^{10}\exp\!\left(-\dfrac{50900}{1{,}987\cdot1123}\right).
Calcular o expoente: \dfrac{50900}{1{,}987\cdot1123}\approx 22{,}82,\quad \exp(-22{,}82)\approx 1{,}227\times10^{-10}.
Logo k_T \approx 3{,}5\times10^{10}\times 1{,}227\times10^{-10}\approx 4{,}295\\ \mathrm{L^{0{,}5}\,mol^{-0{,}5}\,s^{-1}}.

Passo 7

Escrever a equação de projeto para PFR em termos de conversão. A equação geral para volume é: V=\int_{F_{T,0}}^{F_T}\frac{dF_T}{\left(-r_T\right)}.
Usando F_T=F_{T,0}(1-X) e dF_T=-F_{T,0}\,dX, obtemos a forma prática: V=F_{T,0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{\left(-r_T\right)}.
Substituindo \left(-r_T\right)=k_T\left(\dfrac{F_{T,0}(1-X)}{v_0}\right)^{1{,}5}: V=F_{T,0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k_T\left(\dfrac{F_{T,0}(1-X)}{v_0}\right)^{1{,}5}}.

Passo 8

Simplificar constantes fora da integral: V=\frac{F_{T,0}}{k_T}\left(\frac{v_0^{1{,}5}}{F_{T,0}^{1{,}5}}\right)\int_{0}^{X}(1-X)^{-1{,}5}\,dX =\frac{v_0^{1{,}5}}{k_T\,F_{T,0}^{0{,}5}}\int_{0}^{X}(1-X)^{-3/2}\,dX.
Calcular a integral analiticamente. Para 0\le X\le X: \int_{0}^{X}(1-X)^{-3/2}\,dX = 2\left[(1-X)^{-1/2}-1\right].
Portanto V=\frac{2\,v_0^{3/2}}{k_T\,F_{T,0}^{1/2}}\left[(1-X)^{-1/2}-1\right].

Passo 9

Substituir números e calcular passo a passo (usar unidades consistentes):
Valores numéricos já obtidos: v_0=51{,}198\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}, F_{T,0}=0{,}2777778\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}, k_T\approx4{,}295\\ \mathrm{L^{0{,}5}\,mol^{-0{,}5}\,s^{-1}}.
Calcular v_0^{3/2}: v_0^{3/2} = 51{,}198^{1{,}5}\approx 366{,}45\\ \mathrm{L^{3/2}\,s^{-3/2}}.
Calcular F_{T,0}^{1/2}: F_{T,0}^{1/2}=\sqrt{0{,}2777778}\approx 0{,}527046\\ \mathrm{(mol\cdot s^{-1})^{1/2}}.
Calcular o fator fora dos colchetes: \frac{2\,v_0^{3/2}}{k_T\,F_{T,0}^{1/2}}=\frac{2\cdot 366{,}45}{4{,}295\cdot 0{,}527046}\approx\frac{732{,}90}{2{,}263}\approx 323{,}73\\ \mathrm{L}.
Agora o termo entre colchetes para X=0{,}5: (1-X)^{-1/2}-1 = (0{,}5)^{-1/2}-1 = \frac{1}{\sqrt{0{,}5}}-1 = \sqrt{2}-1\approx 1{,}4142136-1=0{,}4142136.
Multiplicando: V \approx 323{,}73\times 0{,}4142136 \approx 134{,}17\\ \mathrm{L}.

Passo 10

Checagem rápida de ordem de grandeza e unidades: o volume resultante \approx 134\\ \mathrm{L} (ou 0{,}134\\ \mathrm{m^3}) é razoável dado que a vazão volumétrica é grande ( \sim 51\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}) e a reação tem dependência forte de concentração ( C^{1{,}5}), exigindo um reator finito mas não enorme para 50\% de conversão sob estas condições. Também confirmamos que todas as unidades se cancelaram para dar litros.

Resposta

V \approx 134{,}2\\ \mathrm{L}\approx 0{,}134\\ \mathrm{m^{3}}

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