Q7 - Os pontos \mathrm{A}(-1,5) e \mathrm{B}(5,-3) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Encontre a equação geral desta circunferência.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1,5) e B(5,-3) e informa que eles são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. A pergunta é: encontre a equação geral dessa circunferência.\n
Informações relevantes que temos:
A(-1,5) — coordenadas do primeiro extremo do diâmetro.
B(5,-3) — coordenadas do segundo extremo do diâmetro.
Queremos a equação geral da circunferência (no formato padrão ou expandido).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar o centro da circunferência. Quando dois pontos são extremos de um diâmetro, o centro é o ponto médio entre eles. A fórmula do ponto médio entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando aos pontos A(-1,5) e B(5,-3):
\left(\frac{-1+5}{2},\frac{5+(-3)}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{2}{2}\right)=(2,1).
Portanto o centro da circunferência é C(2,1).

Passo 3

Agora precisamos do raio. Uma forma simples: calcular a distância do centro C a qualquer um dos extremos (por exemplo, a A). A fórmula da distância entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Usando C(2,1) e A(-1,5):
r = \sqrt{(2-(-1))^2+(1-5)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
Então o raio é r=5.

Passo 4

Agora escrevemos a equação padrão da circunferência com centro (h,k) e raio r:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde h=2, k=1 e r=5. Substituindo:
(x-2)^2+(y-1)^2=25.

Passo 5

Vamos expandir para obter a forma geral (forma polinomial igual a zero). Expandindo os quadrados:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4,
(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1.
Somando:
x^2 -4x +4 + y^2 -2y +1 = 25.

Passo 6

Agora simplificamos as constantes e trazemos tudo para o lado esquerdo igual a zero:
x^2 + y^2 -4x -2y + (4+1) = 25,
x^2 + y^2 -4x -2y +5 = 25,
x^2 + y^2 -4x -2y +5 -25 = 0,
x^2 + y^2 -4x -2y -20 = 0.

Resposta

x^2+y^2-4x-2y-20=0

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