Hidrogênio sólido molecular. Medidas realizadas em2 gasoso mostram que os parâmetros de Lennard-Jones são epsilon=50 times 10^-16 erg e sigma=2,96 AA. Determine a energia de coesão do H2 em kJ por mol ; faça o cálculo para a estrutura cfc, tratando as moléculas de H2 como esferas. O valor experimental da energia de coesão é 0,751 kJ / mol, muito menor que o valor teórico. Isto mostra que, neste caso, as correções quânticas são importantes.

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício está pedindo é: “Usando os parâmetros de Lennard‐Jones para H₂ ( epsilon=50times10^-16,erg e sigma=2,96,Å), trate as moléculas como se fossem esferas, considere a rede cúbica de faces centradas (cfc) e calcule a energia de coesão (por mol, em kJ).”
Conteúdo: potencial de Lennard‐Jones, geometria da rede cfc e soma de vizinhanças (lattice sums). Você vai precisar:
  1. Saber a forma do potencial de Lennard‐Jones;
  2. Reconhecer que o mínimo do potencial (distância de equilíbrio) é rrm min=2^1/6,sigma;
  3. Calcular o parâmetro de rede a em cfc, usando que na cfc a distância entre vizinhos mais próximos é a/raiz2;
  4. Usar os “lattice sums” para potência 6 e 12 na cfc;
  5. Converter a energia por partícula para kJ/mol.

Passo 2

Potencial de Lennard‐Jones entre duas moléculas separadas por r é
U(r) ;=; 4,epsilon;l[l(tfracsigma rr)^12-l(tfracsigma rr)^6r]
O mínimo desse potencial ocorre em
rrm min=2^1/6,sigma,
que será a distância dos vizinhos mais próximos no sólido. Em uma rede cfc, a distância entre vizinhos mais próximos vale a/raiz2, logo
a ;=; rrm min,raiz2 ;=; 2^1/6,sigma,raiz2

Passo 3

Agora precisamos das somas de rede (para toda a rede cfc), definidas por
$$S_{6}=\sum_{j\neq i}\Bigl(\tfrac{1}{r_{ij}/a}\Bigr)^{6},\quad
S_{12}=\sum_{j\neq i}\Bigl(\tfrac{1}{r_{ij}/a}\Bigr)^{12}, S6=sumjneq il(tfrac1rij/ar)^6, S12=sumjneq il(tfrac1rij/ar)^12,ééãS_{6}\approx 12{,}132,\qquad S_{12}\approx 14{,}454.$$

Passo 4

A energia total por partícula, somando a interação com todos os vizinhos, é
$$\frac{U_{\rm coh}}{N}
=;4,\epsilon;\Bigl[S_{12},\bigl(\tfrac\sigma a\bigr)^{12};-;S_{6},\bigl(\tfrac\sigma a\bigr)^{6}\Bigr]. Urm cohN =;4,epsilon;l[S12,l(tfracsigma ar)^12;-;S6,l(tfracsigma ar)^6r]x\equiv\frac\sigma a
=\frac1{2^{1/6}\sqrt2}
=\frac1{2^{2/3}}
\approx0{,}630. a=2^1/6sigmaraiz2ãx6\approx0{,}6306\approx0{,}0628,\quad
x{12}\approx(0{,}0628)2\approx0{,}00394. xequivsigma a =12^1/6raiz2 =12^2/3 approx0,630\frac{U_{\rm coh}}{N}
=4,\epsilon\Bigl[14{,}454\cdot0{,}00394;-;12{,}132\cdot0{,}0628\Bigr]
=4,\epsilon\bigl[0{,}0569-0{,}7621\bigr]
=4,\epsilon;(-0{,}7052)
=-2{,}8208,\epsilon.$$

Passo 5

Agora convertemos para energia por mol. Primeiro, epsilon=50times10^-16,erg
= 50times10^-16times10^-7,J = 5,0times10^-22,J.
Então por molécula
Urm coh;part =-2,8208times5,0times10^-22,rm J approx-1,41times10^-21,rm J
Multiplicando pelo número de Avogadro NA=6,022times10^23,mol ^-1,
Urm coh;mol approx(-1,41times10^-21,rm J)times(6,022times10^23) approx-8,50times10^2,rm J/mol =-0,85,rm kJ/mol

Resposta

Energia de coesão teórica (cfc) ≃ 0,85 kJ/mol (em módulo).

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