Hidrogênio sólido molecular. Medidas realizadas
gasoso mostram que os parâmetros de Lennard-Jones são
erg e
. Determine a energia de coesão do
por mol ; faça o cálculo para a estrutura cfc, tratando as moléculas de
como esferas. O valor experimental da energia de coesão é
, muito menor que o valor teórico. Isto mostra que, neste caso, as correções quânticas são importantes.
Passo 1
Beleza, aqui o que o exercício está pedindo é: “Usando os parâmetros de Lennard‐Jones para H₂ (
erg e
Å), trate as moléculas como se fossem esferas, considere a rede cúbica de faces centradas (cfc) e calcule a energia de coesão (por mol, em kJ).”
Conteúdo: potencial de Lennard‐Jones, geometria da rede cfc e soma de vizinhanças (lattice sums). Você vai precisar:
Conteúdo: potencial de Lennard‐Jones, geometria da rede cfc e soma de vizinhanças (lattice sums). Você vai precisar:
- Saber a forma do potencial de Lennard‐Jones;
- Reconhecer que o mínimo do potencial (distância de equilíbrio) é
; - Calcular o parâmetro de rede
em cfc, usando que na cfc a distância entre vizinhos mais próximos é ; - Usar os “lattice sums” para potência 6 e 12 na cfc;
- Converter a energia por partícula para kJ/mol.
Passo 2
Potencial de Lennard‐Jones entre duas moléculas separadas por
é
O mínimo desse potencial ocorre em
que será a distância dos vizinhos mais próximos no sólido. Em uma rede cfc, a distância entre vizinhos mais próximos vale
, logo
Passo 3
Agora precisamos das somas de rede (para toda a rede cfc), definidas por
$$S_{6}=\sum_{j\neq i}\Bigl(\tfrac{1}{r_{ij}/a}\Bigr)^{6},\quad
S_{12}=\sum_{j\neq i}\Bigl(\tfrac{1}{r_{ij}/a}\Bigr)^{12},
S_{6}\approx 12{,}132,\qquad S_{12}\approx 14{,}454.$$
Passo 4
A energia total por partícula, somando a interação com todos os vizinhos, é
$$\frac{U_{\rm coh}}{N}
=;4,\epsilon;\Bigl[S_{12},\bigl(\tfrac\sigma a\bigr)^{12};-;S_{6},\bigl(\tfrac\sigma a\bigr)^{6}\Bigr].
x\equiv\frac\sigma a
=\frac1{2^{1/6}\sqrt2}
=\frac1{2^{2/3}}
=\frac1{2^{2/3}}
\approx0{,}630.
x6\approx0{,}6306\approx0{,}0628,\quad
x{12}\approx(0{,}0628)2\approx0{,}00394.
\frac{U_{\rm coh}}{N}
=4,\epsilon\Bigl[14{,}454\cdot0{,}00394;-;12{,}132\cdot0{,}0628\Bigr]
=4,\epsilon\bigl[0{,}0569-0{,}7621\bigr]
=4,\epsilon;(-0{,}7052)
=4,\epsilon\bigl[0{,}0569-0{,}7621\bigr]
=4,\epsilon;(-0{,}7052)
=-2{,}8208,\epsilon.$$
Passo 5
Agora convertemos para energia por mol. Primeiro,
erg
= J =
J.
Então por molécula
=
Então por molécula
Multiplicando pelo número de Avogadro
mol
,
Resposta
Energia de coesão teórica (cfc) ≃ 0,85 kJ/mol (em módulo).