Sólido quântico. Em um sólido quântico, a principal energia repulsiva é o movimento de ponto zero dos átomos. Considere um modelo unidimensional do
no qual cada átomo de He está confinado a um segmento de reta de comprimento
. Supondo que no estado fundamental o comprimento de onda de cada átomo é metade do comprimento de onda do átomo livre, determine a energia cinética de ponto zero por partícula.
Passo 1
Beleza, a questão diz que cada átomo de He⁴ está preso num “caixote” unidimensional de tamanho L. No estado fundamental, a gente tem uma onda com comprimento de onda λ que ficou metade do que seria se o átomo estivesse livre. O objetivo é achar a energia cinética de ponto-zero (zero‐point) por átomo.
Conteúdo: partícula em poço infinito 1D e comprimento de onda de Broglie. Vamos precisar
Conteúdo: partícula em poço infinito 1D e comprimento de onda de Broglie. Vamos precisar
- lembrar da relação λ=h/p;
- saber como o modo fundamental de um poço infinito fixa λ em função de L;
- aplicar E=p²/(2m).
Passo 2
Teoria de Broglie: toda partícula de massa m e momento p tem associado um comprimento de onda
Aqui,
é a constante de Planck. Se a partícula estivesse livre, ela poderia ter qualquer λ, mas presa no “poço” só cabem ondas com nós nas fronteiras.
Passo 3
No poço infinito 1D de tamanho L, as fronteiras em x=0 e x=L obrigam a onda estacionária a ter nós lá. No modo fundamental (n=1) cabe meia onda dentro do poço:
Passo 4
Agora, como o enunciado diz que essa λ do poço é metade da λ que o átomo teria livre, estamos coerentes: λ_caixote = λ_livre/2, mas o que importa é que no poço λ = 2L. Logo o momento “empacotado” vale
Passo 5
Finalmente, a energia cinética de ponto-zero é
Se preferir usar
, dá para escrever
Resposta
A energia cinética de ponto-zero por átomo é