Sólido quântico. Em um sólido quântico, a principal energia repulsiva é o movimento de ponto zero dos átomos. Considere um modelo unidimensional do He^4 no qual cada átomo de He está confinado a um segmento de reta de comprimento L. Supondo que no estado fundamental o comprimento de onda de cada átomo é metade do comprimento de onda do átomo livre, determine a energia cinética de ponto zero por partícula.

Passo 1

Beleza, a questão diz que cada átomo de He⁴ está preso num “caixote” unidimensional de tamanho L. No estado fundamental, a gente tem uma onda com comprimento de onda λ que ficou metade do que seria se o átomo estivesse livre. O objetivo é achar a energia cinética de ponto-zero (zero‐point) por átomo.
Conteúdo: partícula em poço infinito 1D e comprimento de onda de Broglie. Vamos precisar
  1. lembrar da relação λ=h/p;
  2. saber como o modo fundamental de um poço infinito fixa λ em função de L;
  3. aplicar E=p²/(2m).

Passo 2

Teoria de Broglie: toda partícula de massa m e momento p tem associado um comprimento de onda
lambda = hp,
Aqui, é a constante de Planck. Se a partícula estivesse livre, ela poderia ter qualquer λ, mas presa no “poço” só cabem ondas com nós nas fronteiras.

Passo 3

No poço infinito 1D de tamanho L, as fronteiras em x=0 e x=L obrigam a onda estacionária a ter nós lá. No modo fundamental (n=1) cabe meia onda dentro do poço:
lambdacaixote2 = L Longrightarrow lambdacaixote = 2L,

Passo 4

Agora, como o enunciado diz que essa λ do poço é metade da λ que o átomo teria livre, estamos coerentes: λ_caixote = λ_livre/2, mas o que importa é que no poço λ = 2L. Logo o momento “empacotado” vale
p = hlambdacaixote = h2L,

Passo 5

Finalmente, a energia cinética de ponto-zero é
E0 = p^22m = 12mgl(h2Lgr)^2 = h^28,m,L^2,
Se preferir usar E0 = pi^2hbar^22,m,L^2, , dá para escrever

Resposta

A energia cinética de ponto-zero por átomo é
boxedE0 = h^28,m,L^2 (ou;pi^2hbar^22,m,L^2)

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