O hidrograma de rompimento de uma barragem está apresentado na tabela abaixo. Propague o hidrograma ao longo do rio a jusante da barragem, o qual possui: comprimento de 100 km , largura média do trecho de 40 m , declividade média do trecho de 35 \mathrm{~cm} / \mathrm{km} e coeficiente de Manning de 0,035.
Tempo (horas) Tempo (min) I ( \mathbf{m}^{\mathbf{3}} . \mathbf{s}^{-\mathbf{1}} ) Tempo (horas) Tempo (min) I ( \mathrm{m}^{3} . \mathrm{s}^{-1} ) Tempo (horas) Tempo (min) I ( \mathbf{m}^{\mathbf{3}} \cdot \mathbf{s}^{-\mathbf{1}} )
0 60 100,0 9 600 1600,0 18 1140 115,0
1 120 100,0 10 660 1476,0 19 1200 106,4
2 180 100,0 11 720 1185,7 20 1260 102,6
3 240 102,3 12 780 856,3 21 1320 101,0
4 300 132,5 13 840 574,6 22 1380 100,4
5 360 274,7 14 900 372,4 23 1440 100,1
6 420 608,4 15 960 244,8 24 1500 100,1
7 480 1069,6 16 1020 172,0 25 1560 100,0
8 540 1457,1 17 1080 133,8 26 1620 100,0

Passo 1

O enunciado fornece o hidrograma de rompimento a montante e pede para propagá-lo ao longo de um trecho retilíneo de rio de comprimento L=100 km, largura média b=40 m, declividade média S_0=35 cm/km =0,00035 e coeficiente de Manning n=0,035. O conteúdo é o escoamento uniforme em canal retangular e a propagação pelo método da onda cinemática, que consiste em (1) obter a profundidade e a velocidade em função da vazão, (2) calcular a celeridade da onda cinemática e (3) transladar o hidrograma no tempo.

Passo 2

Para escoamento uniforme em canal retangular de largura b, a lâmina y e a velocidade média v satisfazem
Q = b\,y\,v,
v = \frac{1}{n}\,y^{2/3}\,S_0^{1/2}.
Substituindo v em Q obtém-se
Q = \frac{b\,S_0^{1/2}}{n}\;y^{5/3} \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{n\,Q}{b\,S_0^{1/2}}\Bigr)^{3/5}.
Em seguida
v = \frac{1}{n}\,\bigl(\frac{n\,Q}{b\,S_0^{1/2}}\bigr)^{2/5}\,S_0^{1/2}.

Passo 3

Na onda cinemática para escoamento Q\propto A^m com m=5/3, a celeridade é
c = \frac{m+1}{m}\;v = \frac{5/3+1}{5/3}\;v = \frac{8}{5}\,v.
Escolhemos o ponto de vazão máxima Q_{\rm pico}=1457{,}1\;\mathrm{m^3/s} para estimar a velocidade característica. Calcula-se y e v:
y = \Bigl(\frac{0{,}035\cdot1457{,}1}{40\cdot0,00035^{1/2}}\Bigr)^{3/5}\approx12{,}6\;\mathrm m,
v \approx \frac{1}{0{,}035}\,(12{,}6)^{2/3}\,(0{,}00035)^{1/2}\approx2{,}89\;\mathrm{m/s},
c = \frac{8}{5}\times2{,}89\approx4{,}63\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

O tempo de viagem até jusante é
T = \frac{L}{c} = \frac{100000\;\mathrm m}{4{,}63\;\mathrm{m/s}}\approx21600\;\mathrm s \approx6\;\mathrm h.

Passo 5

Propaga-se o hidrograma simplesmente transladando cada instante t_{\rm montante} em T=6 h. Assim, se em montante havia um par \bigl(t,Q(t)\bigr), em jusante teremos \bigl(t+6\,\mathrm{h},\,Q(t)\bigr).

Resposta

Segue abaixo o hidrograma a jusante (tempo em horas e minutos, vazão em m^{3}/s):
Tempo jusante (h) ;|; Tempo (min) ;|; I ( m^{3}/s)
6 ;|; 360 ;|; 100,07 ;|; 420 ;|; 100,08 ;|; 480 ;|; 102,39 ;|; 540 ;|; 132,510 ;|; 600 ;|; 274,711 ;|; 660 ;|; 608,412 ;|; 720 ;|; 1069,613 ;|; 780 ;|; 1457,114 ;|; 840 ;|; 1600,015 ;|; 900 ;|; 1476,016 ;|; 960 ;|; 1185,717 ;|;1020 ;|; 856,318 ;|;1080 ;|; 574,619 ;|;1140 ;|; 372,420 ;|;1200 ;|; 244,821 ;|;1260 ;|; 172,022 ;|;1320 ;|; 133,823 ;|;1380 ;|; 115,024 ;|;1440 ;|; 106,425 ;|;1500 ;|; 102,626 ;|;1560 ;|; 101,027 ;|;1620 ;|; 100,428 ;|;1680 ;|; 100,129 ;|;1740 ;|; 100,130 ;|;1800 ;|; 100,031 ;|;1860 ;|; 100,032 ;|;1920 ;|; 100,0

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