Realize a propagação do hidrograma da tabela abaixo pelo método de Muskingum-Cunge ao longo de um trecho de rio com 1km de comprimento, 5m de largura e declividade de 150 \mathrm{~cm} / \mathrm{km}. Adote Manning de 0,035 .
Tempo
(\mathbf{m i n})
\mathbf{I}
\left(\mathbf{m}^{\mathbf{3}} \cdot \mathbf{s}^{\mathbf{- 1}}\right)
Tempo
(\mathbf{m i n})
\mathbf{I}
\left(\mathbf{m}^{\mathbf{3}} \cdot \mathbf{s}^{\mathbf{- 1}}\right)
0 2,00 35 5,00
5 2,50 40 3,90
10 3,20 45 3,20
15 4,20 50 2,60
20 5,70 55 2,20
25 7,00 60 2,00
30 6,00

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um trecho de rio de comprimento \Delta x=1{,}0\\ \mathrm{km}, largura b=5\\ \mathrm{m}, declividade do leito S_0=150\\ \mathrm{cm/km}=0{,}0015 e coeficiente de Manning n=0{,}035. O hidrograma de vazão de entrada \{I_j\} está dado a cada \Delta t=5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s}. A tarefa é propagar esse hidrograma usando o método de Muskingum–Cunge, que combina a equação de armazenamento de Muskingum
S = K\bigl[X\,I + (1-X)\,O\bigr]
com o balanço de massa
S_{j+1}-S_j = \Delta t\,(I_{j+1}-O_{j+1})
para obter uma fórmula recursiva do tipo
O_{j+1} = C_0\,I_{j+1} + C_1\,I_j + C_2\,O_j.

Passo 2

Determinação das propriedades hidráulicas locais para cada intervalo:
  1. Em cada passo j, calcula-se a vazão média
Q_{\rm m} = \frac{I_j + I_{j+1}}{2}.
  1. Para seção retangular larga, adota-se R\approx h e a fórmula de Manning
Q_{\rm m} = \frac{1}{n}\,b\,h^{5/3}\,\sqrt{S_0}.
Daí
h = \Bigl(\frac{Q_{\rm m}\,n}{b\,\sqrt{S_0}}\Bigr)^{3/5},
a área A=b\,h e a velocidade média
\displaystyle u = \frac{Q_{\rm m}}{A}.

Passo 3

Cálculo da celeridade da onda de cheia pela aproximação de onda cinemática em canal largo:
c = \frac{5}{3}\,u.
Com isso define-se
K = \frac{\Delta x}{c}, \qquad X = \frac12\Bigl(1 - \frac{c\,\Delta t}{\Delta x}\Bigr).

Passo 4

Derivação dos coeficientes do método Muskingum–Cunge. Do balanço de massa e da função de armazenamento resulta
O_{j+1} = \frac{\Delta t - KX}{K(1-X)+\Delta t}\;I_{j+1} \;+\;\frac{KX}{K(1-X)+\Delta t}\;I_j \;+\;\frac{K(1-X)}{K(1-X)+\Delta t}\;O_j.
Definimos
\begin{aligned} \mathrm{Den} &= K(1-X)+\Delta t,\\\ C_0 &= \frac{\Delta t - KX}{\mathrm{Den}},\quad C_1 = \frac{KX}{\mathrm{Den}},\quad C_2 = \frac{K(1-X)}{\mathrm{Den}}. \end{aligned}

Passo 5

Aplicação recursiva para cada intervalo de j=0 até j=11, iniciando com O_0=I_0=2{,}00\\ \mathrm{m^3/s}. Para cada j:
  1. Q_{\rm m}=(I_j+I_{j+1})/2.
  2. h=(Q_{\rm m}n/(b\sqrt{S_0}))^{3/5}, u=Q_{\rm m}/(b\,h), c=(5/3)u.
  3. K=\Delta x/c, X=\tfrac12(1-c\,\Delta t/\Delta x).
  4. Calcula-se \mathrm{Den}=K(1-X)+\Delta t e os coeficientes C_0,C_1,C_2.
  5. Obtém-se
O_{j+1} = C_0\,I_{j+1} + C_1\,I_j + C_2\,O_j.

Passo 6

Resultados numéricos (valores aproximados) em cada tempo:
Tempo (min) I ( m^{3}/s) O ( m^{3}/s)
0 2,00 2,005 2,50 2,0410 3,20 2,2915 4,20 2,8220 5,70 3,7325 7,00 4,9230 6,00 5,5335 5,00 5,4840 3,90 5,0645 3,20 4,5050 2,60 3,9455 2,20 3,4260 2,00 2,98

Resposta

O hidrograma de vazão de saída O propagado pelo método de Muskingum–Cunge ao longo do trecho é dado na tabela acima.

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