As vazões afluentes num determinado local de implantação de um reservatório estão apresentadas na tabela a seguir. Verifique se o reservatório, com volume útil de 550 hectômetros cúbicos (milhões de \mathrm{m}^{3} ), pode garantir uma vazão regularizada de 2.000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ? Qual seria a máxima demanda possível de ser atendida?
Mês Qméd (m3/s) Mês Qméd (m3/s) Mês Qméd (m3/s) Mês Qméd (m3/s)
Jan-13 5064.95 Jul-13 1600.25 Jan-14 4864.10 Jul-14 1711.61
Feb-13 5216.83 Aug-13 1477.73 Feb-14 5784.92 Aug-14 1554.78
Mar-13 5377.50 Sep-13 1571.10 Mar-14 7441.69 Sep-14 1754.83
Apr-13 5523.07 Oct-13 1474.26 Apr-14 5691.80 Oct-14 1712.48
May-13 2791.84 Nov-13 2202.79 May-14 2686.38 Nov-14 2407.74
Jun-13 1998.74 Dec-13 5212.90 Jun-14 1896.71 Dec-14 3662.95

Passo 1

O enunciado fornece as vazões médias mensais \{Q_i\} em \mathrm{m^3/s} para 24 meses consecutivos e um volume útil do reservatório de 550 hm ^3. Queremos saber se é possível manter uma vazão de saída constante Q_{\rm reg}=2000 m ^3/s sem esgotar o reservatório e, em caso negativo, determinar a maior vazão Q_{\max} (o chamado firm yield) que o reservatório suporta. Para isso vamos usar o balanço de massa mensal
\Delta V_i = (Q_i - Q_{\rm reg})\times (\text{segundos no mês }i),ê
atualizar o estoque
S_i = \min\{\,550,\;S_{i-1} + \Delta V_i\},
e verificar se em algum mês S_i<0. Se ocorrer, Q_{\rm reg} não é garantido.

Passo 2

Testando Q_{\rm reg}=2000 m ^3/s, calculamos para cada mês
\Delta V_i = (Q_i - 2000)\cdot d_i\cdot 86400\quad\bigl[\mathrm{m^3}\bigr]
e convertemos em hm ^3 dividindo por 10^6. Nos meses de janeiro a maio de 2013 o balanço é positivo e todo excedente se escoa (o reservatório fica cheio em 550 hm ^3). Em junho de 2013 surge um pequeno déficit, reduzindo o estoque para cerca de 546{,}7 hm ^3. Em julho de 2013 o déficit mensal é grande o suficiente para levar o estoque a
S_{\rm jul13}\approx 546{,}7 - 1070{,}9 = -524{,}2\text{ hm}^3<0.
Logo, com Q_{\rm reg}=2000 m ^3/s o reservatório esgotaria em julho de 2013.

Passo 3

Para achar Q_{\max}, observamos que a maior sequência de meses em que há déficit (isto é, Q_i<Q_{\rm reg} dada uma hipótese de Q_{\rm reg}) ocorre de julho a outubro de 2013. Exigimos que o somatório dos déficits nesses quatro meses não exceda 550 hm ^3. Denotando
T = \sum_{m=\rm Jul}^{\rm Oct} \frac{d_m\cdot86400}{10^6} \quad\text{e}\quad B = \sum_{m=\rm Jul}^{\rm Oct} Q_m\;\frac{d_m\cdot86400}{10^6},
têm­-se a condição
\sum_{m=\rm Jul}^{\rm Oct}(Q_{\max}-Q_m)\frac{d_m\,86400}{10^6} = Q_{\max}\,T - B \;\le 550.
Calculando numericamente
T \approx 10{,}6272\quad\text{(hm}^3\text{/)(m}^3\!/s)}, \quad B\approx 16\,267{,}1\text{ hm}^3,
obtém­-se
Q_{\max}\le \frac{550 + B}{T} =\frac{550 + 16\,267{,}1}{10{,}6272} \;\approx 1\,582{,}4\;\mathrm{m^3/s}.

Resposta

Não é possível garantir 2\,000 m ^3/s (o reservatório esgota em julho/2013). A maior vazão constante que pode ser regulada sem esgotar o reservatório é aproximadamente
\boxed{Q_{\max}\approx 1\,582\\ \mathrm{m^3/s}}.

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