Hidrologia é uma ciência que estuda a água na Terra. Um dos elementos importantes para as pesquisas protagonizadas por essa ciência é a salinidade ou concentração salina. Um hidrólogo improvisou uma maneira para medir a salinidade de um lago nos Andes. Pegou uma lata vazia e colocou areia até que o conjunto tivesse 0,96 \mathrm{~kg} de massa. A lata tinha 15 cm de altura e 80 \mathrm{~cm}^{2} de base. Ao deixá-la no lago boiando, 5 cm de sua altura ficaram acima da linha d’água. Se a densidade da água pura é 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, quanto sal existe em cada \mathrm{cm}^{3} de água desse lago? Considere que certa quantidade de água com sal ou pura ocupa o mesmo volume.
a) 0,5 \mathrm{~g}
b) 0,4 \mathrm{~g}
c) 0,3 \mathrm{~g}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • A massa do conjunto (lata vazia + areia) é \,0,96\\ \mathrm{kg}.
    • A lata tem altura \,15\\ \mathrm{cm}.
    • A base da lata tem área \,80\\ \mathrm{cm}^2.
    • Ao boiar no lago, \,5\\ \mathrm{cm} da altura ficaram acima da linha d’água.
    • A densidade da água pura é \,1\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Observação do enunciado: “Considere que certa quantidade de água com sal ou pura ocupa o mesmo volume.” (ou seja, a adição de sal altera a massa por volume, não o volume ocupado por uma mesma massa de água)
  • O que o enunciado pede:
    • “Quanto sal existe em cada \mathrm{cm}^{3} de água desse lago?” — isto é, pedir a massa de sal (em gramas) presente em cada \mathrm{cm}^{3} de água do lago.

Passo 2

Entendendo o princípio físico (explicação didática e passo a passo).
  • Princípio de Arquimedes (versão prática que vamos usar): um corpo flutuante desloca um volume de líquido cujo peso é igual ao peso do corpo. Em termos de massa, usando as mesmas unidades (gramas e centímetros cúbicos), isso significa que a massa da água deslocada é igual à massa do corpo (pois a aceleração da gravidade cancela dos dois lados).
  • Por que podemos trabalhar só com massas (gramas) e volumes ( \mathrm{cm}^3) sem escrever a gravidade?
    Se o peso do corpo é m_{\text{obj}} g e o peso do volume deslocado é m_{\text{água deslocada}} gá, ao igualar esses pesos o g cancela, sobrando m_{\text{obj}} = m_{\text{água deslocada}}á. Então podemos dizer: a massa da água deslocada (em gramas) é igual à massa do objeto (em gramas).

Passo 3

Calcular o volume de água deslocado (ou seja, o volume submerso da lata).
  • A lata tem altura total \,15\\ \mathrm{cm} e \,5\\ \mathrm{cm} ficaram acima da água, logo a altura submersa é
h_{\text{sub}} = 15 - 5 = 10\\ \mathrm{cm}.
  • A área da base é \,80\\ \mathrm{cm}^2. Então o volume submerso (volume de água deslocado) é
V_{\text{sub}} = \text{área da base} \times h_{\text{sub}} = 80\cdot 10 = 800\\ \mathrm{cm}^3.á

Passo 4

Determinar a densidade da água do lago (massa por unidade de volume).
  • Primeiro converto a massa do conjunto para gramas:
m_{\text{obj}} = 0,96\\ \mathrm{kg} = 960\\ \mathrm{g}.
  • Como a massa da água deslocada é igual à massa do objeto (princípio de Arquimedes), a massa de \,800\\ \mathrm{cm}^3 da água do lago é \,960\\ \mathrm{g}. Portanto a densidade da água do lago é
\rho_{\text{lago}}=\frac{m_{\text{deslocada}}}{V_{\text{sub}}}=\frac{960}{800}=1,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 5

Calcular a massa de sal por \mathrm{cm}^3 de água do lago.
  • A água pura tem densidade \rho_{\text{pura}}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Se a água do lago tem densidade \rho_{\text{lago}}=1,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}, a diferença de massa por volume entre a água salgada e a água pura é justamente a massa de sal presente em cada \mathrm{cm}^3 (porque o volume é considerado o mesmo para uma dada porção de líquido, conforme pedido).
    Então a massa de sal por \mathrm{cm}^3 é
m_{\text{sal por cm}^3}=\rho_{\text{lago}}-\rho_{\text{pura}}=1,2-1,0=0,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Interpretação numérica: cada \mathrm{cm}^3 de água do lago contém 0,2\\ \mathrm{g} de sal (ou seja, 200\\ \mathrm{mg} de sal por \mathrm{cm}^3).

Passo 6

Verificação rápida e comentário final de colega animador.
  • Verificação dimensional rápida: massa total 960\\ \mathrm{g} dividida por volume deslocado 800\\ \mathrm{cm}^3 1{,}2\\ \mathrm{g/cm^3}, diferença com água pura 0{,}2\\ \mathrm{g/cm^3}. Está consistente.
  • Observação amiga: o valor obtido ( 0{,}2\\ \mathrm{g/cm^3}) é grande — corresponde a 20\% em massa de sal, muito salgado — mas a conta matemática está correta com os dados dados. Se as alternativas de múltipla escolha forem diferentes, pode haver erro de transcrição das alternativas no enunciado original; o procedimento e o raciocínio aqui é o que se exige na prova.

Resposta

\,0,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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