A Engenhara Civil é uma área de conhecimento que se dedica à construção e manutenção de infraestrutura. Por exemplo, uma ferrovia deveria ser constituída por trilhos de aço de 20 m , no estado do Pará, cuja temperatura anual varia de 24 a 32^{\circ} \mathrm{C}. Com essa pequena variação térmica, os espaços deixados entre trilho (juntas) para evitar deformações por dilatação térmica não deveriam ter menos que 2 milímetros de extensão. As rodas de trem possuem cerca de 1 m de diâmetro, logo, quando passam por esses espaços, elas não sofrem vibração. O engenheiro civil responsável por essa ferrovia pensou em aumentar o tamanho das juntas para que os trilhos não fossem danificados em um eventual incêndio. Entretanto, desistiu dessa ideia ao descobrir que as juntas seriam grandes demais. Considerando que um incêndio poderia elevar a temperatura de até 1200^{\circ} \mathrm{C} e que o coeficiente de dilatação linear do aço é 12 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual deveria ser o valor aproximado do tamanho mínimo de cada junta para o trilho não deformar em um incêndio?
a) 24 cm
b) 25 cm
c) 27 cm
d) 29 cm

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Comprimento de cada trilho: L=20\\ \mathrm{m}.
    • Variação térmica anual citada: de 24^\circ\mathrm{C} a 32^\circ\mathrm{C} (com juntas mínimas de 2\\ \mathrm{mm} para essa variação).
    • Temperatura de um possível incêndio: até 1200^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha=12\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Diâmetro das rodas (informação dada): 1\\ \mathrm{m} (não é diretamente necessário para calcular dilatação).
  • Pergunta que o enunciado faz:
    • Qual deve ser o valor aproximado do tamanho mínimo de cada junta para que o trilho não deforme em um incêndio (opções: a) 24\\ \mathrm{cm}, b) 25\\ \mathrm{cm}, c) 27\\ \mathrm{cm}, d) 29\\ \mathrm{cm})?

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vou usar (explicado didaticamente).
  • Quando um corpo sofre uma variação de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente segundo a lei da dilatação linear: \Delta L = \alpha\,L\,\Delta T.Onde:
    • \Delta L é a variação do comprimento (mesma unidade de L);
    • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
    • L é o comprimento inicial do objeto (por exemplo, 20\\ \mathrm{m});
    • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Intuição simples: \alpha diz quanto o material cresce por grau Celsius por unidade de comprimento. Multiplicando por L e por quantos graus aquece, obtém-se quanto ele cresce no total.

Passo 3

Escolha da temperatura inicial para calcular a variação térmica (explicação lógica).
  • Para garantir que a junta seja suficiente no pior caso, considera-se a temperatura inicial mais baixa indicada no enunciado ( 24^\circ\mathrm{C}), pois isso maximiza a variação \Delta T até 1200^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto: \Delta T = 1200^\circ\mathrm{C} - 24^\circ\mathrm{C} = 1176^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Preparar as unidades para o cálculo prático.
  • Queremos a junta em milímetros ou centímetros; portanto converto o comprimento do trilho para milímetros: L = 20\\ \mathrm{m} = 20{,}000\\ \mathrm{mm}.
  • Calculo o fator \alpha L: \alpha L = \left(12\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\right)\times(20{,}000\\ \mathrm{mm})=0{,}24\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C}.Interpretação: a cada 1^\circ\mathrm{C} o trilho de 20\\ \mathrm{m} cresce 0{,}24\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a dilatação total \Delta L e converter para centímetros.
  • Aplicando a fórmula: \Delta L = 0{,}24\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C}\times1176^\circ\mathrm{C}=282{,}24\\ \mathrm{mm}.
  • Converter para centímetros: 282{,}24\\ \mathrm{mm}=28{,}224\\ \mathrm{cm}\approx28{,}22\\ \mathrm{cm}.
  • Portanto, o tamanho mínimo da junta para acomodar essa dilatação é aproximadamente 28{,}2\\ \mathrm{cm}. Comparando com as alternativas fornecidas, a opção mais próxima é 29\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Comentário final curto e ligação com o dado inicial.
  • Observação rápida: a junta necessária em incêndio ( \approx28{,}2\\ \mathrm{cm}) é centenas de vezes maior que a junta de 2\\ \mathrm{mm} projetada apenas para a variação normal de 24 32^\circ\mathrm{C}, o que explica por que o engenheiro desistiu da ideia — juntas tão grandes seriam impraticáveis.

Resposta

d) 29\\ \mathrm{cm}

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